第2章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（北师大版2019）

　　直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系,判断直线l与圆锥曲线C 的位置关系时,可将直线l的方程与曲线C的方程联立,消去变量y(或x),得到一个关于变量x(或 y)的方程,再根据此方程进行判断.下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明: (1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线 C相离. (2)当a=0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双 曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴. 提醒    (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.当 §4 直线与圆锥曲线的位置关系 知识点 1 直线与圆锥曲线的交点 知识 清单破 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 直线与双曲线的渐近线平行且直线与双曲线相交时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与 抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交,也只有一个交点. (2)过双曲线外一点P的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下: ①P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含虚轴的区域内时,有与渐近线平行的两条 直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线; ②P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内时,有与渐近线平行的两条 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线; ③P点在两条渐近线上但非原点时,只有两条与双曲线只有一个公共点的直线:一条是与另一 渐近线平行的直线,一条是切线; ④P为原点时不存在这样的直线. (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x2-x1|=  或|AB|= ·|y2-y1|= .直线的斜率不存在 时,|AB|=|y1-y2|. 知识点 2 弦长公式 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　    ) 2.过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+ =1相交.     (　    ) 3.过点A(1,0)作与双曲线x2-y2=1只有一个公共点的直线,这样的直线可作2条.     (　    ) 4.若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切.     (　    ) √ √ ✕ ✕ 可作3条,其中1条垂直于x轴,另外2条分别平行于两条渐近线. 提示 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆锥曲线相交所得弦的长 解决相交弦的长度问题,有两种方法: (1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,用两点间的距离公式求弦长; (2)根据“设而不求”的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,并借助弦长公式求解. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 直线与圆锥曲线的相交弦问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 2.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 　　直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程, 利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程, 通过作差,构造关于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的式子,从而建立中点坐标和斜率的关系. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 过点P(4,2)作直线AB,与双曲线C: -y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|=  (　    ) A.2 　    B.2 　    C.3 　    D.4  D 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由题意可知,直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k (x-4)+2. 由 消去y并整理,得(1-2k2)·x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为P(4,2)为线段AB的中点, 所以x1+x2=- =8,解得k=1, 所以x1x2= =10, 所以|AB|= · =4 . 故选D. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1①, - =1②. ①-②得 (x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 因为P(4,2)为线段AB的中点, 所以x1+x2=8,y1+y2=4. 所以4(x1-x2)-4(y1-y2)=0, 即x1-x2=y1-y2, 所以直线AB的斜率k= =1, 则直线AB的方程为y=x-2. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 由 消去y并整理,得x2-8x+10=0, 所以x1+x2=8,x1x2=10, 所以|AB|= · =4 . 故选D. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解决圆锥曲线中的最值与范围问题,一般有两种途径:一是利用代数方法,即把要求的几何量 或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(或解析式),常用的代数方法有:判别式法、不等式 法、函数最值法;二是从几何角度考虑,利用圆锥曲线的定义、几何性质以及图形的几何性 质求解. 讲解分析 疑难 2 圆锥曲线中的最值与范围问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 抛物线y=2x2上有一动弦AB,其中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(        ) A. 　    B. 　    C. 　    D.1 A 解析    易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+b, 由 得2x2-kx-b=0, 由题意可得Δ>0,即k2+8b>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 则x1+x2= ,x1x2=- , 因为|AB|= · =3, 所以b= × ,AB的中点M的纵坐标yM= = + =(x1+x2)2-2x1x2= +b= +  = + - ≥2 - = ,当且仅当 = ,即k=± 时取等号, 所以点M的纵坐标的最小值为 ,故选A. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 　　圆锥曲线中的探索性问题主要包括定值、定点等存在性问题.解决方法如下: (1)从特殊情况入手,探索定值、定点,再推理论证该定值、定点与变量无关. (2)直接推理计算,并在计算推理过程中消去参数,或求出参数的值,从而得到定值、定点. 讲解分析 疑难 3 圆锥曲线中的探索性问题 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆C:x2+2y2=a2(a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4. (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线y=k(x-1)与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在点M(m,0),使得对任意的k∈R,  · 为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设椭圆的短半轴长为b,半焦距为c,则b2= , 由c2=a2-b2得c2=a2- = , 由题意得 ×b×2c=4, 即 × ×2 =4, 所以a2=8,b2=4, 故椭圆C的方程为 + =1. (2)存在. 由 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0, 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= ,x1x2= , 所以 · =(x1-m,y1)·(x2-m,y2) =x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1) =(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+k2+m2 =(k2+1)· -(m+k2)· +k2+m2 =- +m2, 当5+4m=16,即m= 时, · =-  ,为定值, 故存在点M ,使得 · 为定值. 第二章　圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 $$