1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

人教2019A版选择性必修 第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.2空间向量的数量积运算 新课导入 通过预习你发现： 空间向量的数量积和平面向量的数量积有什么区别？ 没有本质区别 新课讲解 思考：如何定义两个非零空间向量的夹角呢？ o B A 关键是起点相同！ 起点不同怎么办？ 1.空间两个向量的夹角 O A B O A B O A B 〈a，b〉∈ 新课讲解 新课讲解 思考：如何定义两个非零空间向量的数量积呢？ 2. 两个向量的数量积 注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于0.即 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. ③特别地，a·a＝____或|a|＝ ④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______ ⑤|a·b|≤|a|·|b| 3. 空间向量的数量积的性质 a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 新课讲解 4. 空间向量数量积运算律 （1）a·b＝ （2）(λa)·b＝ （3） a·(b＋c)＝ λ(a·b) = a·(λb) b·a a·b＋a·c （交换律） （数乘结合律） （分配律） 思考：对应向量a,b,c,(a·b ) · c＝ a · (b·c)成立吗? 新课讲解 新课讲解 5.空间向量的投影 已知向量 1. 如何向向量 投影? 2. 如何向直线 l 投影？ 3. 如何向平面 β 投影？ 向 l 的方向向量投影 向 在 β 内的射影直线投影 例题解析 例1 如图在正四面体OABC中，各棱长为2，点M,N,P为所在棱的中点。试求： 例题解析 例1 如图在正四面体OABC中，各棱长为2，点M,N,P为所在棱的中点。试求： 例题解析 例3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形， 四边形ABB1A1和四边形BB1C1C都是正方形，若AB＝a. 求异面直线BA1与AC所成的角. 例题解析 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 60° 1 课堂练习 5.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13， ∴|a＋3b|＝ . 6.已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝ ，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为_____. 45° ∵a与2b－a垂直，∴a·(2b－a)＝0， 即2a·b－|a|2＝0. ∴2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0， 又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为45°. 课堂练习 |a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14. 7.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于 A.14 B. C.4 D.2 √ 课堂练习 课堂小结 课后作业 $$