第1章 专题强化练3 利用导数研究恒成立问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 专题强化练3　利用导数研究恒成立问题 60分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=ex+a,x∈(0,+∞),当x1<x2时,不等式<恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-1,+∞) 2.已知函数f(x)=2(x-5)ex,g(x)=x3-2x2-a,若f(x)>g(x)对x∈R恒成立,则a的取值范围是(　　) A. B.(3e,+∞) C. D.(6e,+∞) 3.已知函数f(x)=aex+x(ln a+x-ln x),若不等式f(x)≥x在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B. C. D. 4.已知函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≤ax+a-在R上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 5.已知函数f(x)=+ex-e-x,若不等式f(ax2)+f(1-2ax)≥1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,e] B.[0,e] C.(0,1] D.[0,1] 6.(多选)若实数t≥2,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.(t+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3) B.(t+1)t+2>(t+2)t+1 C.1+>logt(t+1) D.log(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3) 7.已知函数f(x)=ln x-ax2+bx,当x>0时,f(x)≤0恒成立,则的最大值为　　　　.  8.已知不等式(ax-ln x)·(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  9.已知函数f(x)=.若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≤成立,则实数a的最小值是　　　　.  10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=xln x.若当x∈(0,+∞)时,f(x)≤kx+b≤g(x)恒成立,则k-b的值等于　　　　.  11.已知函数f(x)=ax+xln x在x=e(e为自然对数的底数)处取得极值. (1)求实数a的值; (2)若不等式f(x)>k(x+1)在[e,+∞)上恒成立,求k的取值范围. 12.已知函数f(x)=ln x-a·,a∈R. (1)讨论f(x)的单调区间; (2)当x∈(0,1)时,(x+1)ln x<a(x-1)恒成立,求a的取值范围. 13.已知函数f(x)=xex-x2-2x-1. (1)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值; (2)证明:当x>0时, f(x)>-x-1. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 专题强化练3 利用导数研究恒成立问题 1.C　由已知,可得当x1<x2时,x1 f(x1)<x2 f(x2),令F(x)=xf(x)=xex+ax,x∈(0,+∞),则当x1<x2时,F(x1)<F(x2),所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,所以F'(x)=xex+ex+a≥0在(0,+∞)上恒成立,即-a≤xex+ex在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=xex+ex,x∈(0,+∞),则g'(x)=(x+2)ex>0在x∈(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=1,所以-a≤1,解得a≥-1,故选C. 2.A　令h(x)=f(x)-g(x)=2(x-5)ex-x3+2x2+a,则h'(x)=2ex+2(x-5)ex-x2+4x=(x-4)(2ex-x), 令s(x)=2ex-x,则s'(x)=2ex-1,令s'(x)<0,解得x<ln ,令s'(x)>0,解得x>ln , 故s(x)在上单调递减,在上单调递增,故s(x)的极小值,也是最小值,为s=1-ln >0. 令h'(x)>0,解得x>4,令h'(x)<0,解得x<4,故h(x)在(-∞,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,故h(x)的极小值,也是最小值,为h(4)=-2e4++a>0,解得a>2e4-,故选A. 方法技巧 不等式恒成立问题的常见解法 ①分离参数,a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min; ②数形结合,y=f(x)的图象恒在y=g(x)的图象的上方(或下方); ③讨论最值, f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立. 3.C　由f(x)≥x(x∈(0,+∞))得aex+x(ln a+x-ln x)≥x(x∈(0,+∞)),即+ln a+x-ln x≥1(x∈(0,+∞)), ∴eln a+x-ln x+ln a+x-ln x≥e0+0在(0,+∞)上恒成立, 令g(x)=ex+x,易知g(x)在R上单调递增,且g(0)=1,∴g(ln a+x-ln x)≥g(0), ∴ln a+x-ln x≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴ln a≥ln x-x在(0,+∞)上恒成立, 构造函数h(x)=ln x-x,x∈(0,+∞), 则h'(x)=-1=,x∈(0,+∞), 当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, ∴h(x)的极大值,也是最大值,为h(1)=-1, ∴ln a≥-1,解得a≥. 故选C. 4.A　画出函数f(x)的大致图象,如图所示: f(x)≤ax+a-在R上恒成立,即函数f(x)的图象与直线y=ax+a-相切或在其下方, 易求得直线y=ax+a-过定点. 当直线y=ax+a-与曲线y=ln(x+1)(x>0)相切时(如图中l1),设切点为P(x0,ln(x0+1)),易得y=ln(x+1)的导数为y'=, 可得=,解得x0=-1,则直线斜率为,即a=; 当直线y=ax+a-与曲线y=-x2-2x-2(x≤0)相切时(如图中l2),此时令ax+a-= -x2-2x-2, 得x2+(a+2)x+a+=0,令Δ=(a+2)2-4a-6=0,解得a=或a=-(舍). 结合图象可知,a的取值范围为≤a≤.故选A. 5.D　∵f(x)=+ex-e-x, ∴f(x)+f(-x)=+ex-e-x++e-x-ex=1, 令g(x)=f(x)-,x∈R,则g(x)+g(-x)=0,可得g(x)是奇函数. g'(x)='+(ex-e-x)'=ex+e-x-=ex+-, 由基本不等式知ex+≥2,当且仅当ex=,即x=0时等号成立, 且≤,当且仅当2x=,即x=0时等号成立, 故g'(x)>0,可得g(x)是R上的单调递增函数. 由f(ax2)+f(1-2ax)≥1得f(ax2)-≥-f(1-2ax)+=-, 即g(ax2)≥-g(1-2ax)=g(2ax-1),即ax2-2ax+1≥0对任意x∈R恒成立. 当a=0时显然成立; 当a≠0时,需得0<a≤1. 综上可得,0≤a≤1. 故选D. 6.ABD　对于A,令f(x)=,则f'(x)==,当x>e时, f'(x)<0,所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2), 所以<,所以(t+3)ln(t+2)>(t+2)·ln(t+3),故A正确; 对于B,由A中分析知,函数f(x)=在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+2>t+1>e, 所以f(t+1)>f(t+2),即>, 即(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2), 所以ln(t+1)t+2>ln(t+2)t+1,所以(t+1)t+2>(t+2)t+1,故B正确; 对于C,当t=2时,1+-log23=-=<0,故C错误; 对于D,log(t+1)(t+2)-log(t+2)(t+3)=-=, 因为t≥2,所以ln(t+1)>0,ln(t+2)>0,ln(t+3)>0, 由基本不等式可得ln(t+1)·ln(t+3)<=<==[ln(t+2)]2, 所以>0, 即log(t+1)(t+2)>log(t+2)(t+3),故D正确. 故选ABD. 7.答案　1 解析　由题意可知, ln x≤ax2-bx,即≤ax-b在x>0时恒成立, 令g(x)=,h(x)=ax-b=a, 所以问题转化为g(x)≤h(x)在x>0时恒成立,而g'(x)=, 令g'(x)=0,得x=e, 易知g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且g(1)=0, 画出g(x)的大致图象,如图所示: 注意到为h(x)的图象在x轴上的截距,由图可知,的最大值为1. 8.答案　 解析　由不等式(ax-ln x)(ex-ax)≥0对任意x>0恒成立, 可得或 即或 令f(x)=,g(x)=. 则f'(x)=,可得函数f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为f(1)=e; g'(x)=,可得函数g(x)在x=e时取得极大值,也是最大值,为g(e)=. 若则≤a≤e. 若则a的解集为⌀. 综上可得,实数a的取值范围是. 9.答案　1 解析　易得函数f(x)的定义域是(0,+∞), f'(x)=, 当0<x<e时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当x>e时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≤成立, 则当x∈[a,+∞)时, f(x)max-f(x)min≤. 当a≥e时, f(x)max≤,且f(x)>0,满足题意; 当0<a<e时, f(x)在[a,e]上单调递增,故≤f(x)≤,f(x)在[e,+∞)上单调递减,故0<f(x)≤, 故只要≥0即可,∴1≤a<e. 综上可知,a∈[1,+∞),则实数a的最小值是1. 10.答案　2 解析　当x∈(0,+∞)时, f(x)≤kx+b≤g(x),即ln x≤kx+b≤xln x, 取x=1,则有0≤k+b≤0,所以k+b=0,则b=-k,故ln x≤kx-k≤xln x在x∈(0,+∞)时恒成立, 令m(x)=ln x-kx+k,则m(x)≤0在x∈(0,+∞)时恒成立,易得m'(x)=-k=. 当k≤0时,m'(x)>0,则m(x)在(0,+∞)上单调递增, 由m(1)=0可知,当x∈(1,+∞)时,m(x)>m(1)=0,不满足ln x≤kx-k; 当k>0时,令m'(x)=0,可得x=, 则当x∈时,m'(x)>0,m(x)单调递增, 当x∈时,m'(x)<0,m(x)单调递减, 故m(x)的极大值,也是最大值,为m, 由m(1)=0,且m(x)≤0在x∈(0,+∞)时恒成立,可得=1,即k=1. 只需检验k=1时x-1≤xln x恒成立即可,即证ln x-1+≥0在(0,+∞)上恒成立, 令n(x)=ln x-1+,则n'(x)=-=, 当x∈(0,1)时,n'(x)<0,n(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,n'(x)>0,n(x)单调递增, 所以n(x)的极小值,也是最小值,为n(1), 即n(x)≥n(1)=0,得证. 所以k=1,b=-1,所以k-b=2. 11.解析　(1)f'(x)=a+ln x+1, 则f'(e)=a+2=0,所以a=-2, 经检验,符合题意,所以a=-2. (2)由(1)知, f(x)=-2x+xln x, 所以k<在[e,+∞)上恒成立,即k<对任意x≥e恒成立. 令g(x)=,则g'(x)=. 令h(x)=ln x+x-1(x≥e),易得h(x)是增函数, 所以h(x)min=h(e)=e>0,所以g'(x)=>0, 所以函数g(x)在[e,+∞)上为增函数,则g(x)min=g(e)=-,所以k<-. 12.解析　(1)由题意知,函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=-=. 令g(x)=x2+2(1-a)x+1. 当Δ=4(1-a)2-4≤0,即0≤a≤2时,g(x)≥0恒成立,即f'(x)≥0恒成立,且仅在有限个点处有f'(x)=0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 当Δ=4(1-a)2-4>0,即a<0或a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实数根,为a-1±,不妨设x1=a-1-,x2=a-1+. 若a<0,则由x1+x2=2(a-1)<0,x1x2=1>0, 得x1<0,x2<0, 所以g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f'(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 若a>2,则由x1+x2=2(a-1)>0,x1x2=1>0,得x1>0,x2>0, 由f'(x)>0,得x的取值范围是(0,x1)∪(x2,+∞), 由f'(x)<0,得x的取值范围是(x1,x2), 即f(x)的单调递增区间为(0,x1),(x2,+∞),单调递减区间为(x1,x2). 综上所述,当a>2时, f(x)的单调递增区间为(0,a-1-),(a-1+,+∞),单调递减区间为(a-1-,a-1+); 当a≤2时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. (2)当x∈(0,1)时,由(x+1)ln x<a(x-1),得(x+1)ln x-a(x-1)<0, 即ln x-a·<0,即f(x)<0在x∈(0,1)上恒成立. 由(1)知,当a≤2时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞),又因为f(1)=0, 所以当x∈(0,1)时, f(x)<0恒成立; 当a>2时, f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,由x1x2=1,得x1<1<x2,此时 f(x1)>f(1)=0,不符合题意. 综上所述,a的取值范围是(-∞,2]. 13.解析　(1)f'(x)=ex+xex-2x-2=(x+1)(ex-2), 令f'(x)=0,得x=-1或x=ln 2, 当x∈(-1,ln 2)时, f'(x)<0;当x∈(ln 2,1)时, f'(x)>0. ∴f(x)在[-1,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1]上单调递增, ∴f(x)max=max{f(-1), f(1)}, 又∵f(-1)=--1+2-1=-,f(1)=e-1-2-1=e-4,->e-4, ∴f(x)max=f(-1)=-. (2)证明:要证f(x)>-x-1,只需证f(x)+x+1=xex-x2-x>0, ∵x>0,∴只需证ex-x-1>0. 令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1, 当x>0时,ex>1,∴g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=e0-0-1=0,即当x>0时,ex-x-1>0恒成立,则原命题得证, ∴当x>0时, f(x)>-x-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$