第1章 专题强化练2 利用导数研究函数的零点（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 专题强化练2　利用导数研究函数的零点 50分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表: x -1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)=(x2-2x)ex,若方程f(x)=a有3个不同的实数解x1,x2,x3(x1<x2<x3),则的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0,) 3.已知函数f(x)=xex-ex-a有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-1,0] C. D.(-1,0) 4.(多选)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),若F(x)=f(x)+f(-x),且F(x)有四个零点,则实数m的取值可以为(　　) A.1 B.e C.2e D.3e 5.已知函数f(x)=x2+(m-1)x+1为偶函数,则函数g(x)=mx-ln(mx)-2的零点个数为　　　　.  6.若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  7.已知函数f(x)是在R上连续的奇函数,其导函数为f'(x).当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,且f(1)=1,则函数g(x)=f(x)-的零点个数为　　　.  8.已知函数f(x)=-aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 专题强化练2 利用导数研究函数的零点 1.D　根据题中导函数的图象,及题表中数据可作函数f(x)的大致图象如图所示. 由f(x)的图象可知,当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点个数为4. 2.A　因为f(x)=(x2-2x)ex,所以f'(x)=(x2-2)ex. 令f'(x)=0,解得x=±. 当x>或x<-时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当-<x<时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 故f(x)的大致图象如图所示. 结合图象可得-<x2<0,且==x2, 设g(x)=xex,-<x<0,则g'(x)=(x+1)ex,-<x<0. 易知g(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 由g(-1)=-,g(-)=-,g(0)=0, 可得的取值范围为.故选A. 3.D　令f(x)=xex-ex-a=0,则有xex-ex=a,令g(x)=xex-ex, 则g'(x)=ex+xex-ex=xex, 当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x=0时,g(x)取得极小值,也是最小值,为g(0)=-1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.由此可以画出函数g(x)的大致图象,如图所示, 由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个零点,只需-1<a<0.故实数a的取值范围为(-1,0). 4.CD　由F(x)=f(x)+f(-x),可得F(x)=F(-x),又定义域关于原点对称,故F(x)为偶函数, 由题意可得,当x>0时,F(x)有两个零点, 当x>0时,-x<0, f(-x)=ex-2mx+m, 即当x>0时,F(x)=ex(x-1)+ex-2mx+m=xex-2mx+m, 令F(x)=0,可得xex-2mx+m=0,则问题等价于方程xex-2mx+m=0有两个不相等的实根,等价于函数y=xex的图象与直线y=2mx-m有两个不同的交点,作y=xex的图象与直线y=2mx-m,如图. 设函数y=xex的图象与直线y=m(2x-1)相切时的切点为(t,tet), 易知y=xex的导数为y'=(x+1)ex,可得切线的斜率为(t+1)et,切线的方程为y-tet=(t+1)et(x-t), 由切线经过点,可得-tet=(t+1)et, 解得t=1或t=-(舍去),即切线的斜率为2e, 故2m>2e,所以m>e.结合选项可知选CD. 5.答案　2 解析　由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x), 即x2-(m-1)x+1=x2+(m-1)x+1,所以m-1=0, 即m=1, 所以g(x)=x-ln x-2,则g'(x)=1-=, 易知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)的极小值,也是最小值,为g(1)=-1<0. 又因为g(e2)=e2-4>0,且g(x)的图象在(1,+∞)上连续不断,所以g(x)在(1,+∞)上有唯一零点; 又因为g=>0,且g(x)的图象在(0,1)上连续不断,所以g(x)在(0,1)上有唯一零点. 综上所述,g(x)有且仅有2个零点. 6.答案　(0,+∞) 解析　∵f(x)=aex-x-2a,∴f'(x)=aex-1. 当a≤0时, f'(x)<0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln ,易知函数f(x)在 上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)的极小值,也是最小值,为f=1-ln -2a=1+ln a-2a. 令g(a)=1+ln a-2a,则g'(a)=-2. 当a∈时,g'(a)>0,g(a)单调递增;当a∈时,g'(a)<0,g(a)单调递减, ∴g(a)的极大值,也是最大值,为g=-ln 2<0, ∴f(x)的最小值f<0,∴函数f(x)=aex-x-2a有两个零点. 综上所述,实数a的取值范围是(0,+∞). 7.答案　1 解析　g(x)=f(x)-=, 则函数g(x)=f(x)-的零点就是方程x2f(x)=1的根. 设h(x)=x2f(x), 由题意得h(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-h(x),因为h(x)的定义域为R,所以h(x)为R上连续的奇函数. 易得h'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)], 由题知,当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,则h'(x)>0, 即函数h(x)为(0,+∞)上的增函数, 又因为h(x)为R上连续的奇函数, 所以h(x)为R上的增函数. 由f(1)=1,得h(1)=f(1)=1,则方程x2f(x)=1只有一个根,故函数g(x)=f(x)-只有1个零点. 8.解析　(1)f'(x)=x-=(x>0), ①当a≤0时, f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a>0时,由f'(x)=0得x=(负值舍去). 当0<x<时, f'(x)<0,故f(x)在(0,)上单调递减; 当x>时, f'(x)>0,故f(x)在(,+∞)上单调递增. 综上,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时, f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. (2)当a≤0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(1,e2]内至多有一个零点,不符合题意. 当a>0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最小值为f()=, 若f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,则需满足 即所以e<a≤. 故a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$