第1章 专题强化练1 函数的最值及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 专题强化练1　函数的最值及其应用 60分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=6-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为(　　) A.-46 B.-35 C.6 D.5 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A. f(x)=x+(x∈R)的最小值为1 B. f(x)=(x>0)的最小值为1 C. f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1 D. f(x)=x(x>0)的最小值为1 3.已知f(x)=x3-x在区间(m,6-m2)上有最小值,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-2,) C.[-2,) D.[-2,1) 4.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln +的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则AB的长的最小值为(　　) A.2+ln 2 B.2-ln 2 C.2+2ln 2 D.2-2ln 2 5.(多选)设f(x)=,x∈的最大值为M,则(　　) A.当a=-1时,M> B.当a=1时,M<1 C.当a=2时,M< D.当a=3时,M<2 6.(多选)已知函数f(x)=ex+aln x,则所给结论正确的是(　　) A.当a=0时,函数f(x)有最大值 B.对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值 C.对于任意的a>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.对于任意的a>0,都有f(x)>0 7.已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为(　　) A.-1 B. C. D.+1 8.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 9.如图,某养殖公司欲在某湖边借助互相垂直的湖岸线CA,CB围成一个三角形养殖区ACB,为了便于管理,在线段AB的两端点之间设有一观察站点M,M到直线BC,CA的距离分别为8百米,1百米,则观察站点M到点A,B的距离之和最小为多少百米? 10.已知函数f(x)=(x2-2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值. 11.设函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b,其中a,b∈R,e是自然对数的底数. (1)设F(x)=xf(x),当a=e-1时,求F(x)的最小值; (2)证明:当a=e-1,b<1时,总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切; (3)当a>时,证明: f(x)>x[g(x)-b]. 答案与分层梯度式解析 第1章　导数及其应用 专题强化练1 函数的最值及其应用 1.B　由题意得f'(x)=-3x2=, 令f'(x)=0,得x=1, 当x∈[0,1)时, f'(x)>0, 当x∈(1,4]时, f'(x)<0, 所以f(x)的极大值为f(1)=11, 又因为f(0)=6, f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46, 所以最大值与最小值之和为-35.故选B. 2.AC　A中, f'(x)=1-=,令f'(x)=0,得x=0,当x<0时, f'(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时, f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.故函数 f(x)的极小值,也是最小值,为f(0)=1,故A正确. B中, f'(x)=(x>0),令f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时, f'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,当x>1时, f'(x)>0,则 f(x)在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的极小值,也是最小值,为f(1)=e,故B错误. C中, f'(x)=1-=,令f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时, f'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减,当x>1时, f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的极小值,也是最小值,为f(1)=1,故C正确. D中, f'(x)=-x··=,令f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时, f'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减;当x>1时, f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)的极小值,也是最小值,为f(1)=e,故D错误. 故选AC. 3.D　f'(x)=x2-1,令f'(x)=0,得x=±1,当-1<x<1时, f'(x)<0,当x>1时, f'(x)>0,所以f(x)的极小值为f(1).因为f(x)在区间(m,6-m2)上有最小值,所以解得-2≤m<1. 故选D. 4.A　由题意可知A(ln m,m),B(2,m),m>0,其中2>ln m, 故AB=2-ln m,设h(x)=2-ln x=ex-ln x(x>0),则h'(x)=ex-,因为y=ex在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以h'(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为h'=0,所以当0<x<时,h'(x)<0;当x>时,h'(x)>0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=时,h(x)取得极小值,也是最小值,为2+ln 2.故选A. 5.AB　对于A,当a=-1时, f(x)=xsin x,则f'(x)=sin x+xcos x,x∈,易知f'(x)>0在x∈上恒成立, 故f(x)在上单调递增,故M=f =×sin =>,故A正确; 对于B,当a=1时, f(x)=,则f'(x)=,x∈, 令h(x)=xcos x-sin x,x∈, 则h'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x<0,故h(x)在x∈上单调递减,故h(x)≤h, 而h=×-=<0,故h(x)<0,即f'(x)<0,则 f(x)在x∈上单调递减, 故M=f==<1,故B正确; 对于C,当a=2时, f(x)=, 则f'(x)=,x∈,令m(x)=xcos x-2sin x,x∈, 则m'(x)=cos x-xsin x-2cos x=-cos x-xsin x<0, 故m(x)在x∈上单调递减,故m(x)≤m,而m=×-2×=<0, 故m(x)<0,即f'(x)<0,则f(x)在x∈上单调递减,故M=f==>,故C错误; 对于D,当a=3时, f(x)=,则 f'(x)=, x∈,令n(x)=xcos x-3sin x,x∈, 则n'(x)=cos x-xsin x-3cos x=-2cos x-xsin x<0, 故n(x)在x∈上单调递减,故n(x)≤n,而n=×-3×=<0, 故n(x)<0,即f'(x)<0,则f(x)在x∈上单调递减, 故M=f=>2,故D错误.故选AB. 6.BC　对于A,当a=0时, f(x)=ex,易知f(x)为定义域内的增函数,所以f(x)无最大值,故A错误. 对于B, f(x)的定义域为(0,+∞),对f(x)求导得, f'(x)=ex+,则f″(x)=ex->0, 所以函数f'(x)=ex+=ex-为(0,+∞)上的增函数, 作函数y=ex与y=-在(0,+∞)上的图象如图所示: 由图象可知,两函数图象在(0,+∞)上有且只有一个交点,设交点的横坐标为t, 当0<x<t时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x>t时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 所以当x=t时,f(x)取得极小值,也是最小值. 所以对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值,故B正确. 对于C,对于任意的a>0, f'(x)=ex+>0在(0,+∞)上恒成立,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故C正确. 对于D,取a=,则f(x)=ex+ln x,则f=-=0,故D错误. 故选BC. 7.A　由f(x)=,得 f'(x)=,当a>1时,若x>,则f'(x)<0, f(x)单调递减,若1<x<,则f'(x)>0, f(x)单调递增,故当x=时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,为f()==,得a=<1,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=,不符合题意.当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,此时最大值为f(1)==,得a=-1,符合题意.故a的值为-1.故选A. 8.解析　(1)f'(x)=3ax2+b. ∵函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值c-16, ∴f'(2)=12a+b=0, f(2)=8a+2b+c=c-16,∴a=1,b=-12. (2)由(1)可得, f(x)=x3-12x+c, 则f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2), 令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2, 当x变化时, f'(x)与 f(x)的变化情况如下表: x [-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3] f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-2时, f(x)有极大值28, ∴(-2)3-12×(-2)+c=28,解得c=12, ∴f(x)=x3-12x+12, 由表可知,当x=2时, f(x)取得极小值,且f(2)=23-12×2+12=-4,又∵f(-3)=21, ∴f(x)在[-3,3]上的最小值是-4. 9.解析　以C为原点,有向直线CA,CB分别为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略),则M(8,1),设直线AB:y-1=k(x-8),即y=kx+1-8k,则A,B(0,1-8k),所以所以k<0, 令f(k)=AB2=+(1-8k)2(k<0), 则f(k)=(1-8k)2(k<0), 则f'(k)=2(1-8k)×(-8)×+(1-8k)2×(-2)×=(k<0). 令f'(k)=0,得k=(舍去)或k=-, 当k变化时, f'(k)与 f(k)的变化情况如下表: k - f'(k) - 0 + f(k) ↘ 极小值 ↗ 由表可知,当k=-时,f(k)取得极小值,也是最小值. 所以当k=-时,观察站点M到点A,B的距离之和最小,最小为f =5百米. 10.解析　(1)f'(x)=ex(x2-2). 令f'(x)>0,解得x<-或x>. 令f'(x)<0,解得-<x<. 所以函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-,). (2)①当0<m≤时,由(1)知f(x)在[-,]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,m]上的最大值为f(0)=0, 最小值为f(m)=(m2-2m)em. ②当<m≤2时, 由(1)知f(x)在[-,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,且f(0)=f(2)=0, 所以f(x)在[0,m]上的最大值为f(0)=f(2)=0, 最小值为f()=(2-2). ③当m>2时, 由(1)知f(x)在[-,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,且f(m)>f(0)=0, 所以f(x)在[0,m]上的最大值为f(m)=(m2-2m)·em,最小值为f()=(2-2). 综上,当0<m≤时, f(x)的最大值为0,最小值为(m2-2m)em; 当<m≤2时, f(x)的最大值为0,最小值为(2-2); 当m>2时, f(x)的最大值为(m2-2m)em,最小值为(2-2). 11.解析　(1)由题可得,F(x)=xex-1, 则F'(x)=(x+1)ex-1, 当x∈(-∞,-1)时,F'(x)<0,F(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时, F'(x)>0,F(x)单调递增, ∴当x=-1时,F(x)取得极小值,也是最小值,为F(-1)=-e-2. (2)证明:由题可得, f(x)=ex-1,∴f'(x)=ex-1, ∴曲线y=f(x)在点(m,em-1)处的切线方程为y=em-1x+(1-m)em-1. ∵g(x)=ln x+b,∴g'(x)=, ∴曲线y=g(x)在点(n,ln n+b)处的切线方程为y=x+ln n+b-1. 令 则(m-1)em-1-m+b=0. 令h(m)=(m-1)em-1-m+b, 则h'(m)=mem-1-1, 由(1)得,当m<-1时,h'(m)单调递减,且h'(m)<0, 又∵h'(1)=0,m<1时,h'(m)<0, ∴当m<1时,h'(m)<0,h(m)单调递减; 当m>1时,h'(m)>0,h(m)单调递增. 易得h(b-1)=(b-2)eb-2+1>-+1>0, 又∵h(3-b)=(2-b)e2-b+2b-3>(2-b)(3-b)+2b-3=+>0,h(1)=b-1<0, ∴函数h(m)在(b-1,1)和(1,3-b)内各有一个零点, ∴当a=e-1,b<1时,总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切. (3)证明: f(x)>x[g(x)-b]⇔-ln x>0. 令G(x)=-ln x(x>0), 则G'(x)=-=. ①当0<x≤1时,G'(x)<0,则G(x)在(0,1]上递减,故G(x)≥G(1)=ae>0; ②当x>1时, G'(x)=, 令H(x)=ex-, 则H'(x)=ex+,易得H'(x)>0, H(2)=e2-=>0,取t∈(1,2)且使>e2,即1<t<, 则H(t)=et-<e2-e2=0. ∵H(t)·H(2)<0,∴H(x)存在唯一零点x0∈(1,2),即G(x)有唯一的极值点x0∈(1,2),且x0为极小值点. 又∵G(x0)=-ln x0,且H(x0)=-=0, 即=, ∴G(x0)=-ln x0. ∵G'(x0)=--<0, ∴G(x0)是(1,2)上的减函数, ∴G(x0)>G(2)=1-ln 2>0,∴G(x)>0. 综上,当a>时, f(x)>x[g(x)-b]. 学科网（北京）股份有限公司 $$