第1章 导数及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第1章　导数及其应用 (全卷满分150分,考试用时120分钟) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　) A.当x∈(-1,3)时,函数y=f(x)单调递增 B.当x∈(3,5)时,函数y=f(x)单调递减 C.函数y=f(x)在x=5处取得极小值 D.函数y=f(x)在x=0处取得极大值 3.已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=2x2-f'(1)·x-3,则f(1)+f'(1)=(　　) A.0 B.1 C.-1 D.不确定 4.已知函数f(x)=ex+(x+1)2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是(　　) A. B. C.1 D.2 5.已知函数f(x)=x3-2x2,x∈[-1,3],则下列说法不正确的是　(　　) A.函数f(x)的最大值为9 B.函数f(x)的最小值为-3 C.函数f(x)在区间[1,3]上单调递增 D.x=0是函数f(x)的极大值点 6.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其放射性活度P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为初始时该放射性同位素的放射性活度.已知t=15时,该放射性同位素放射性活度的瞬时变化率为-,则该放射性同位素的放射性活度从初始衰变为4.5贝克所需的时间为(　　) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)在R上恒有f'(x)<,则不等式f(x)<+的解集为(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞) 8.已知函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),若当a>3时,不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是(　　) A.- B. C.- D. 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.下列求导错误的是(　　) A.(e3x)'=3ex B.'=x C.(2sin x-3)'=2cos x D.(xcos x)'=cos x-xsin x 10.关于函数f(x)=ex+sin x,x∈(-π,+∞),下列结论正确的有　(　　) A. f(x)在(0,+∞)上是增函数 B. f(x)存在唯一的极小值点 C. f(x)在(-π,+∞)上有一个零点 D. f(x)在(-π,+∞)上有两个零点 11.若函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,实数m的取值集合的子集有(　　) A.　B.　C.　D. 12.已知函数f(x)=ex·x3,则以下结论正确的是(　　) A. f(x)在R上单调递增 B. f()<f(-log50.2)<f(ln π) C.方程f(x)=-1有实数解 D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上) 13.函数f(x)=的极小值为　　　　.  14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-1的最短距离为　　　　.  15.已知函数f(x)=x,g(x)=ex,若f(x1)=g(x2),则|x1-x2|的最小值为　　　　.  16.已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2,则a的取值范围是　　　　　;若不等式f(x1)+f(x2)<x1+x2+t恒成立,则实数t的取值范围是　　　　　.  四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数f(x)=2ln x+ax2+b在x=1处取得极值1.求: (1)a,b的值; (2)f(x)在[e-1,e]上的最大值和最小值. 18.(12分)已知函数f(x)=ax2+x-xln x. (1)若a=0,求函数f(x)的单调区间; (2)若f(e)=e2,且在(0,+∞)上,f(x)-2x-mx2≥0恒成立,求实数m的取值范围. 19.(12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1. (1)若x∈(0,π),求f(x)的极值; (2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x. 20.(12分)在研制飞机的自动着陆系统时,需要研究飞机的降落曲线.如图,一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O,飞机降落曲线大致为y=ax3+bx2,其中x(单位:m)表示飞机距离着陆点的水平距离,y(单位:m)表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机开始降落时距离着陆点的竖直高度为4 500 m,距离着陆点的水平距离为x0 m,飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行,且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切. (1)用x0分别表示a和b; (2)若飞机开始降落时的水平速度为150 m/s,且在整个降落过程中水平速度保持不变,基于安全考虑,飞机在降落过程中的竖直加速度y″(t)[即y关于降落时间t(单位:s)的导函数y'(t)的导数]的绝对值不超过1 m/s2,求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x0的最小值. 21.(12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(a+1)x. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设函数f(x)图象上不重合的两点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1>x2).证明:kAB>f'(其中kAB是直线AB的斜率). 22.(12分)设f(x)=xex-ax2,g(x)=ln x+x-x2+1-. (1)求g(x)的单调区间; (2)讨论f(x)零点的个数; (3)当a>0时,设h(x)=f(x)-ag(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 答案与解析 第1章　导数及其应用 1.B　因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为 ==1.故选B. 2.D　由题中y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象可知,当x<-1时, f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减; 当-1<x<3时, f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增; 当3<x<5时, f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减; 当x>5时, f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增, 所以函数y=f(x)在x=-1和x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值. 故选D. 3.C　由f(x)=2x2-f'(1)·x-3, 得f'(x)=4x-f'(1), ∴f'(1)=4-f'(1),∴f'(1)=2, ∴f(x)=2x2-2x-3, ∴f(1)=2-2-3=-3. ∴f(1)+f'(1)=-3+2=-1. 4.B　由题意可得f(0)=2, f'(x)=ex+2(x+1),所以f'(0)=3, 则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+2. 令x=0,得y=2; 令y=0,得x=-. 故所求三角形的面积为×2×=. 故选B. 5.C　∵f(x)=x3-2x2,∴f'(x)=3x2-4x=x(3x-4). 令f'(x)>0,可得x<0或x>; 令f'(x)<0,可得0<x<. 当x∈[-1,3]时,函数f(x)在区间[-1,0),上均为增函数,在区间上为减函数, 所以x=0是函数f(x)的极大值点,x=是函数f(x)的极小值点,故C中说法错误,D中说法正确. 因为f(0)=0, f(3)=27-2×9=9, f(-1)=-1-2×1=-3, f =-2×=-, 所以函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为9,最小值为-3,故A、B中说法均正确.故选C. 6.D　由P(t)=P0·得P'(t)=-P0·ln 2, 因为t=15时,该放射性同位素放射性活度的瞬时变化率为-, 所以P'(15)=-P0=-, 解得P0=18,则P(t)=18·, 令P(t)=4.5,即18·=4.5,即=, 所以-=-2,解得t=60.故选D. 7.A　f(x)<+可化为f(x)--<0, 令g(x)=f(x)--, 则g'(x)=f'(x)-, 因为f'(x)<,所以g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减, 因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)--=0, 所以当x>1时,g(x)<0,当x<1时,g(x)>0. 所以不等式f(x)<+的解集为(1,+∞).故选A. 8.D　由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a), 令f'(x)=0,得x=或x=a, 当a>3时,<a,易知此时f(x)在,[a,+∞)上单调递减,在上单调递增, 又当a>3时,>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数. 因为k∈[-1,0],sin θ∈[-1,1],所以-2≤-k-sin θ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1, 由不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sin θ-1≤k2+k=-对任意的k∈[-1,0]恒成立, 所以sin2θ-sin θ-1≤-恒成立, 解得-≤sin θ≤,故-≤sin θ≤1, 结合选项知,θ的可能取值是. 故选D. 9.AB　(e3x)'=e3x·(3x)'=3e3x,故A中求导错误; '==,故B中求导错误; (2sin x-3)'=(2sin x)'-(3)'=2cos x,故C中求导正确; (xcos x)'=x'cos x+x(cos x)'=cos x-xsin x,故D中求导正确.故选AB. 10.ABD　f(x)=ex +sin x,则f'(x)=ex +cos x, 当x>0时,ex >1,-1≤cos x≤1,故f'(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上是增函数,故A正确. 当x∈(-π,+∞)时,作y=ex 和y=-cos x的图象,如图所示: 由图易知存在x0∈,使得=-cos x0, 当x∈(-π,x0)时, f'(x)<0, f(x)是单调递减的; 当x∈(x0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)是单调递增的, 所以f(x)存在唯一的极小值点,故B正确. 当x>0时,ex >1,-1≤sin x≤1,故f(x)>0, 当x=0时, f(0)=1+0=1, 当-π<x<0时,作y=ex 和y=-sin x的图象,如图: 易知函数y=ex 和y=-sin x的图象在(-π,0)上有两个交点, 故f(x)在(-π,+∞)上有两个零点,故C错误,D正确.故选ABD. 11.BD　依题意得f'(x)=-2ln x=(x>0), 若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则方程m=2xln x在(0,+∞)上有2个不同的实数根. 令g(x)=2xln x,则g'(x)=2(1+ln x)(x>0), 令g'(x)>0,解得x>;令g'(x)<0,解得0<x<, ∴g(x)在上单调递减,在上单调递增, 故g(x)的极小值,也是最小值,是g=-, 又当x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→+∞,故-<m<0, 结合选项可知选BD. 12.BCD　由题意得f'(x)=(x3+3x2)ex, 当x>-3时, f'(x)≥0,当且仅当x=0时取等号, 当x<-3时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-3,+∞)上单调递增,在(-∞,-3)上单调递减,故A错误; 因为<1=-log50.2=ln e<ln π, 所以f()<f(-log50.2)<f(ln π),故B正确; 因为f(-3)=-<-1, f(0)=0>-1,且f(x)在(-3,0)上的图象是连续的, 所以方程f(x)=-1有实数解,故C正确; 对于方程f(x)=kx,显然x=0是方程的解, 当x≠0时,k=ex·x2, 令g(x)=ex·x2,则g'(x)=(x2+2x)ex, 令g'(x)=0,得x=-2或x=0(舍去), 当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,0) (0,+∞) g'(x) + 0 - + g(x) ↗ 极大值 ↘ ↗ 故当0<k<时,直线y=k与函数y=ex·x2(x≠0)的图象有三个交点,又x=0是原方程的解, 故存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解,D正确. 故选BCD. 13.答案　e 解析　依题意,得f'(x)==(x≠0), 令f'(x)=0,得x=1, 当x∈(-∞,0)或x∈(0,1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为e. 故答案为e. 14.答案　 解析　由题意可知,当曲线y=x2-ln x在点P处的切线与直线y=x-1平行时,点P到直线y=x-1的距离最短. 由y=x2-ln x可得y'=2x-(x>0), 令y'=2x-=1,解得x=1或x=-(舍去), ∴点P的坐标为(1,1), 由点到直线的距离公式得最短距离为=. 15.答案　 1 解析　设x1==t(t>0),则x2=ln t, 所以|x1-x2|=|t-ln t|. 令h(t)=t-ln t, 则h'(t)=1-=, 当0<t<1时,h'(t)<0,h(t)单调递减, 当t>1时,h'(t)>0,h(t)单调递增. 因此当t=1时,h(t)取得极小值,也是最小值,即h(t)min=h(1)=1>0, 即=(t-ln t)min=1. 16.答案　;[-5,+∞) 解析　f'(x)=(x>0), 因为函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2, 所以方程2ax2-2x+1=0有两个不相等的正实数根x1,x2, 则解得0<a<. 由题意得t>f(x1)+f(x2)-x1-x2恒成立, f(x1)+f(x2)-x1-x2=a-2x1+ln x1+a-2x2+ln x2-x1-x2=a[(x1+x2)2-2x1x2]-3(x1+x2)+ln(x1x2)=--1-ln(2a), 设h(a)=--1-ln(2a), 则h'(a)=>0,故h(a)在上单调递增, 故h(a)<h=-5,所以t≥-5. 因此t的取值范围是[-5,+∞). 17.解析　(1)因为f(x)=2ln x+ax2+b, 所以f'(x)=+2ax.(2分) 依题意得f'(1)=0,f(1)=1,即 解得(4分) 经检验,a=-1,b=2符合题意. 所以a=-1,b=2.(5分) (2)由(1)可得f(x)=2ln x-x2+2, f'(x)=-2x=.(6分) 令f'(x)=0,得x=-1(舍去)或x=1.(7分) 当x在[e-1,e]上变化时, f(x)与f'(x)的变化情况如下表: x e-1 (e-1,1) 1 (1,e) e f'(x) + 0 - f(x) -e-2 ↗ 极大值1 ↘ 4-e2 (9分) 又4-e2<-e-2,所以f(x)在[e-1,e]上的最大值为1,最小值为4-e2.(10分) 18.解析　(1)当a=0时, f(x)=x-xln x,函数的定义域为(0,+∞). 易得f'(x)=-ln x,由-ln x=0,得x=1. 当x∈(0,1)时, f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上是增函数; 当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).(4分) (2)由f(e)=e2,得ae2+e-e=e2, ∴a=1,(5分) ∴f(x)=x2+x-xln x, 由f(x)-2x-mx2≥0在(0,+∞)上恒成立, 得m≤1--在(0,+∞)上恒成立.(7分) 令g(x)=1--,x>0,可得g'(x)=,x>0,(10分) 令g'(x)>0,得x>1, 令g'(x)<0,得0<x<1, ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值, 即g(x)min=g(1)=0, ∴m的取值范围是(-∞,0].(12分) 19.解析　(1)∵f(x)=cos x+xsin x-1, ∴f'(x)=xcos x,(2分) 令f'(x)=0,由x∈(0,π),可得x=. 当x在(0,π)上变化时, f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ (5分) 因此当x=时, f(x)取得极大值,极大值为f =-1,没有极小值.　(6分) (2)证明:令g(x)=2sin x-xcos x-x, 则g'(x)=cos x+xsin x-1=f(x).(8分) 由(1)知f(x)在上单调递增,在上单调递减. 又f(0)=0, f =-1>0, f(π)=-2<0, 且f(x)在[0,π]上的图象是连续的, 所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0,则g'(x0)=f(x0)=0.(9分) 当x∈(0,x0)时,g'(x)>0; 当x∈(x0,π)时,g'(x)<0, 所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减, 又g(0)=0,g(π)=0, 所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0,(11分) 故2sin x-xcos x≥x.(12分) 20.解析　(1)设f(x)=ax3+bx2, 则f'(x)=3ax2+2bx,(2分) 由题意可知 即(4分) 解得(6分) (2)由(1)可知, f(x)=-x3+x2,x∈[0,x0], 设飞机降落时间为t s,则x=x0-150t, 则y(t)=-+(x0-150t)2,t∈,(8分) y'(t)=(150t2-x0t),t∈, y″(t)=[y'(t)]'=(300t-x0),t∈,(10分) 当t=0或t=时,|y″(t)|取得最大值,为,故≤1, 可得x0≥4 500. 所以飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x0的最小值为4 500 m.　(12分) 21.解析　(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=+ax+a+1==.(2分) ①当a≥0时, f'(x)=+ax+a+1>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.　(3分) ②当a<0时,令f'(x)=0,得x=-或x=-1(舍去), 令f'(x)>0,得0<x<-; 令f'(x)<0,得x>-, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(4分) 综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.(5分) (2)证明:由题意得f(x1)=ln x1+a+(a+1)x1, f(x2)=ln x2+a+(a+1)x2, 所以kAB= = =++a+1,(7分) 又f'=++a+1,(8分) 所以要证kAB>f'成立, 只需证>成立, 即证ln>=成立.(9分) 令=t(t>1),即证当t∈(1,+∞)时,ln t>成立.(10分) 设g(t)=ln t-(t>1), 则g'(t)=-=>0(t>1), 所以函数g(t)在(1,+∞)上单调递增,(11分) 所以∀t∈(1,+∞),都有g(t)>g(1)=0, 即∀t∈(1,+∞),都有ln t>, 所以kAB>f'.(12分) 22.解析　(1)易得g'(x)=+1-2x=,(1分) 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 故g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(3分) (2)易知x=0是f(x)的一个零点, 当x≠0时,由f(x)=0,得a=, 令F(x)=,则F'(x)=, 当x<0时,F'(x)<0,F(x)单调递减且F(x)<0. 当x>0时,F(x)>0,且当x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增, 故F(x)在x>0时的极小值为F(1)=e.(5分) 作F(x)的图象如图, 结合图象,可知当0≤a<e时, f(x)有1个零点; 当a=e或a<0时, f(x)有2个零点; 当a>e时, f(x)有3个零点.(7分) (3)h(x)=f(x)-ag(x)=xex-aln x-ax-a+e, 所以h'(x)=(x+1)ex-=(x+1),(8分) 当a>0时,设h'(x)=0的正根为x0, 则有=,可得x0=ln a-ln x0. 当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.(10分) 所以当x=x0时,h(x)取得极小值,也是最小值, 即h(x)min=h(x0) =x0-aln x0-ax0-a+e =x0·+a(x0-ln a)-ax0-a+e =e-aln a≥0, 所以0<a≤e. 故实数a的取值范围是(0,e].(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$