2.4.4 向量与距离（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2章　空间向量与立体几何 2.4　空间向量在立体几何中的应用 2.4.4　向量与距离 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　点到直线的距离 1.已知A(3,1,0),B(5,2,2),C(2,0,3),则点C到直线AB的距离为　(　　) A.3 B. C.2 D. 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是　(　　) A. B. C. D. 题组二　点到平面的距离与直线到平面的距离 3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,2),则点D到平面ABC的距离为(　　) A. B. C. D. 4.如图,在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,PO=AO=3,M为PO的中点,=2. (1)求证:DM∥平面EAC; (2)求直线DM到平面EAC的距离. 题组三　两平行线间的距离 5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离为　　　　.  6.如图,已知=(1,0,-1),=(-1,2,1),则以OA,OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为　　　　.  题组四　两平行平面间的距离 7.在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　) A. B. C. D. 8.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,BC,BB1的中点. (1)求证:平面A1DC1∥平面EFG; (2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离. 能力提升练　　 题组　用空间向量求空间中的距离 1.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.在如图所示的几何体中,AD⊥平面PDC,△PDC是等腰直角三角形,四边形ABCD为平行四边形,且PD=DC=AD=2,则点C到平面PAB的距离为(　　) A.1 B. C. D. 3.(多选)在空间直角坐标系O-xyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),则(　　) A.·=3 B.点B到平面AOC的距离是2 C.异面直线OC与AB所成角的余弦值为 D.点O到直线AB的距离是 4.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上的两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离　(　　) A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,CF⊥BC,CF=BC=2,PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,E,F分别是PD,AB的中点. (1)求证:EF∥平面PBC; (2)若CE与平面PCF所成的角θ为30°,求点B到平面CEF的距离d. 答案与分层梯度式解析 第2章　空间向量与立体几何 2.4　空间向量在立体几何中的应用 2.4.4　向量与距离 基础过关练 1.D　易得=(2,1,2),=(-1,-1,3),所以=1.设点C到直线AB的距离为d,则d==.故选D. 2.B　如图所示,建立空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2), ∴=(0,2,0),=(0,1,2), 设∠ABE=θ,则cos θ===, ∴sin θ==, ∴点A到直线BE的距离d=||sin θ=2×=. 3.A　依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,2), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得y=1,z=1, 则n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量, 则点D到平面ABC的距离d===, 所以点D到平面ABC的距离为.故选A. 4.解析　(1)证明:连接BD,则O为BD的中点,且AC⊥BD, 在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥平面ABCD,AC,BD⊂平面ABCD,所以PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO,AC,BD两两垂直. 以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),M,E(0,2,1),所以=,=(6,0,0),=(-3,2,1), 设平面EAC的法向量为m=(x,y,z), 则取y=1,则x=0,z=-2,则m=(0,1,-2)为平面EAC的一个法向量, 因为·m=3-3=0,所以⊥m,又因为DM⊄平面EAC,所以DM∥平面EAC. (2)由(1)知DM∥平面EAC,所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离.由(1)知=(3,3,0),平面EAC的一个法向量为m=(0,1,-2),所以点D到平面EAC的距离d===.故直线DM到平面EAC的距离为. 5.答案　 解析　以A为坐标原点,AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E,设F(t,1,1),所以=(1,0,-1),=,因为EF∥A'B,所以∥,所以存在实数k,使得=k,即=k(1,0,-1),所以解得t=,所以F,所以=,所以cos<,>==,所以sin<,>==,所以直线EF与A'B之间的距离为||·sin<,>=. 6.答案　2, 解析　设=a,=b, 易得a+b=(0,2,0),则(a+b)·a=0,所以(a+b)⊥a,所以以OA为底的高的长度为|a+b|=2. cos<a+b,b>===, 所以sin<a+b,b>=, 所以以OB为底的高的长度为|a+b|sin<a+b,b>=2×=. 7.A　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量,都垂直,则即取x=1,则y=3,z=-4,则n=(1,3,-4), 又因为平面α∥平面β,所以平面α与平面β间的距离d===. 故选A. 8.解析　(1)证明:连接AC,∵E是AB的中点,F是BC的中点, ∴EF∥AC. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1􀱀CC1, ∴四边形ACC1A1是平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴EF∥A1C1, 又∵A1C1⊂平面A1DC1,EF⊄平面A1DC1, ∴EF∥平面A1DC1. 连接AB1,同理可得EG∥AB1∥DC1,可得EG∥平面A1DC1, ∵EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG, ∴平面A1DC1∥平面EFG﹒ (2)如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,连接A1E. 则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(2,1,0), ∴=(2,0,2),=(0,2,2),=(0,1,-2), 设平面A1DC1的法向量为n=(x,y,z), 则⇒取x=1,则y=1,z=-1,则n=(1,1,-1)为平面A1DC1的一个法向量, 则平面A1DC1与平面EFG间的距离为==﹒ 能力提升练 1.C　由题意得=(4,-5,0),=(0,4,-3),则直线AC的一个单位方向向量为u=,所以AC边上的高BD的长即点B到AC的距离,为==5.故选C. 2.B　如图,以D为原点,DC,DP,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,2),P(0,2,0),C(2,0,0),B(2,0,2), 则=(2,0,0),=(0,-2,2),=(0,0,2). 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则⇒令y=1,得x=0,z=1,故n=(0,1,1)为平面PAB的一个法向量, 则点C到平面PAB的距离d===,故选B. 3.BD　因为=(2,2,-2),=(0,0,-2),所以·=4,A错误; 在空间直角坐标系O-xyz中,结合A与C两点的坐标可知y轴与平面AOC垂直,所以n=(0,1,0)为平面AOC的一个法向量,则点B到平面AOC的距离是=2,B正确; 因为|cos<,>|==,所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为,C错误; 因为=(-1,0,0), 所以=-, 所以点O到直线AB的距离是==,D正确.故选BD. 4.A　取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离.易知A1B1∥平面PGCD,所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离. 以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,连接DA1, 则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P,∴=(0,a,0),=(a,0,a),=. 设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量, 由得令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量. 所以点Q到平面PEF的距离d===,故选A. 5.解析　(1)证明:取PC的中点G,连接EG,BG,因为E是PD的中点,所以EG是三角形PCD的中位线,所以EG∥CD且EG=CD,又因为F是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以BF∥CD且BF=CD,故EG∥BF,EG=BF,所以四边形BFEG是平行四边形,所以EF∥BG,因为EF⊄平面PBC,BG⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC. (2)因为PA=PB,F是AB的中点,所以PF⊥AB,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PF⊥平面ABCD,因为CF,BC⊂平面ABCD,所以PF⊥CF,PF⊥BC,因为CF⊥BC,所以以F为坐标原点,FC所在直线为x轴,过点F且平行于BC的直线为y轴,FP所在直线为z轴,1为单位长度,建立空间直角坐标系,则F(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),设P(0,0,m)(m>0),则E,=,=(2,0,0),=(0,2,0),易知平面PCF的一个法向量为n=(0,1,0),则|cos<,n>|=sin 30°===,解得m=2(负值舍去),则=(-3,2,), 设平面CEF的法向量为n1=(x,y,z), 则取z=1,则x=0,y=-,所以n1=为平面CEF的一个法向量,则d===. 学科网（北京）股份有限公司 $$