2.3 空间向量基本定理及坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（湘教版2019）

2.3　空间向量基本定理及坐标表示 1.共面向量的概念:一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.平面向量基本定理:如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要 条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xe1+ye2. 3.相关结论:在三个向量a,b,c中,某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面. 1 | 共面向量 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 　　设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量p可以分解成这三 个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3,此表达式中的系数x,y,z由p唯一确定,即若p= xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'. 我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标. 2 | 空间向量的基本定理 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.标准正交基:空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组 成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基. 2.向量的坐标:空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和: p=xi+yj+zk,系 数x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z),称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z). 3.与向量坐标有关的结论:一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这 个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标. 3 | 空间向量的直角坐标表示 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.空间向量的坐标运算法则 　　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2) 数乘 λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 数量积 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 4 | 空间向量运算的坐标表示 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 结论 坐标表示 共线 a∥b(a≠0)⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R 向量模长公式 |a|=  向量夹角公式 cos<a,b>=  =  垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 2.空间向量常用结论的坐标表示 　　设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 知识拓展     1.四点共面的充要条件 空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 =x + y ,或对空间中任一点O,有 = +x +y (或 =(1-x-y)· +x +y ). 2.定比分点坐标公式 已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)两点,点M在直线AB上, =λ (λ∈R且λ≠-1),则称点M 为有向线段 的定比分点,其坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.空间向量的基是唯一的吗? 不是.由空间向量基本定理可知,任意三个不共面的向量都可以组成空间的一组 基,所以空间向量的基不是唯一的. 2.在空间直角坐标系中,向量 的坐标与其终点B的坐标相同,对吗? 不对.当且仅当起点A与原点O重合时,向量 的坐标才与其终点B的坐标相同. 3.若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),能否说“a∥b⇔ = = ”? 不能.当x2,y2,z2都不为0时,a∥b⇔ = = 才成立,否则有些分式无意义. 4.平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别? 平面向量与空间向量的坐标运算均有加减、数乘、数量积运算,其算法是相同 的.但空间向量比平面向量多一个竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一 样的. 知识辨析 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 用基向量表示向量的步骤 (1)定基向量:若未给定基向量,则应根据已知条件,确定三个不共面的向量作为空 间的基向量. (2)找目标:用已给定或确定好的基向量表示目标向量,需要根据三角形法则或平 行四边形法则,结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简. (3)下结论:将变形、化简后的目标向量进行整理,得到最终结果.注意此结果中只 能含有基向量,不能含有其他形式的向量. 1 利用基向量解决几何问题 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　如图,已知四棱锥P-ABCD,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别是PC,PD 上的点,且 =2,PN=ND,设 =a, =b, =c. (1)以{a,b,c}为基表示向量 ; (2)若 =xa+yb+zc,求实数x,y,z的值. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    (1) = + = +  = + ( + + )=  -  +  =- a+  b+ c. (2) = - =  -  = ( - )- ( - )=  -  - ( + )+   =-  -  +  =- a- b+ c, 所以x=- ,y=- ,z= . 方法技巧    用基向量表示空间中其他向量的关键是结合图形,运用三角形法则、 平行四边形法则等,逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 1.利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直 借助向量的坐标,可将向量的平行与垂直问题代数化,即借助代数运算达到判断 向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式:(1) a∥b(a≠0)⇔x2 =λx1,y2=λy1,z2=λz1,λ∈R;(2) a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.其中,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 2.由平行、垂直求参数的值 利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程,即可求出参数的值. 3.利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直 (1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量; (2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系; (3)若两向量平行,且两直线不重合,则两直线平行;若两向量垂直,则两直线垂直. 2 空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点. (1)求证:AB1∥GE,AB1⊥EH; (2)过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标; (3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥  ?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    如图,以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1 为单位长度,建立空间直角坐标系.   设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1, 1),D1(0,1,1).由中点坐标公式,得E ,G ,H . (1)证明: =(1,0,1), = , = . 因为 =2 , · =1× +0× +1× =0, 所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 (2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z). 又因为 =(1,1,1), 所以由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.① 因为点M在AC1上,所以设 =μ (0≤μ≤1),可得x=μ,y=μ,z=μ.② 由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= . 所以点M的坐标为 . (3)假设存在满足条件的λ.设点P(x1,y1,z1),则 =(x1-1,y1,z1-1), =(-x1,1-y1,1-z1), 由3 = ,得  第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解得 所以点P的坐标为 . 设点Q(x2,y2,z2), 则 = , =(x2,y2-1,z2), 又因为 = , =(-1,1,0), 所以由 ⊥ ,得x2- +y2- + (z2-1)=0,③ 由 =λ ,得 ④ 由③④知无解,即不存在λ满足条件. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用题设条件写出相关点的坐标,进而得相关向量的坐标; (3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解. 3 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何  典例　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 解析    以C为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,1为单 位长度,建立空间直角坐标系C-xyz. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴ =(1,-1,1), ∴BN=| |= = . (2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0), ∴ =(1,-1,2), =(0,1,2), ∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3, | |= ,| |= , ∴cos< , >= = = . 故A1B与B1C所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 第二章 空间向量与立体几何 $$