精品解析：广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷

肇庆市2024—2025学年第二学期高一年级期末统一考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：若，根据模长公式求解即可；法二：根据复数的除法运算及复数的模长公式即可求解. 【详解】法一：∵，∴. 法二：∵，∴. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系可得的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：A. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运算求结果. 【详解】由，得，所以． 故选：D 4. 已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由题可求出分层抽样比为，故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，根据第40百分位数的定义即可求解. 【详解】由题可知分层抽样比为：， 故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30. 因为，所以该组数据的第40百分位数为. 故选：C. 5. 已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示，因为D为边的中点，所以， 因为，所以， ． 故选：B. 6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简可得，根据图象变换可得新函数的解析式为.根据新函数图象关于y轴对称，可得，即可求解. 【详解】，经过两次变换后，新函数的解析式为. 因为新函数图象关于y轴对称，所以，所以. 因，所以. 故选：A. 7. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D 8. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（ ） A. 28 B. 35 C. 63 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，根据分层抽样的均值和方差公式即可求解的值，进而求解女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工平均体重和方差分别为，，所占权重为， 所以样本中全部员工的平均体重为， 方差 ， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以女员工的人数为：. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为1 B. 已知复数为纯虚数，则 C. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确； 由且，得，所以B正确； 由且，得，所以C错误； 设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3， 所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确． 故选：ABD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，其中，则 D. 在区间上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入法验证对称中心判断A；根据正弦型函数的性质依次判断B、C、D. 【详解】由，A正确； 令，可得， 所以的单调递增区间为，， 显然不是上述区间的子集，B错误； ， ，一个为的最大值，另一个为的最小值， 由，则，C正确； 若，则，则，即，D正确． 故选：ACD 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A，B相互独立 B. 若事件A，B互斥，则 C. 若事件A，B相互独立，则 D. 若事件B发生时事件A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用独立事件的判定得事件，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质依次判断B、C、D. 【详解】，，， 事件，B相互独立，则A，B相互独立，正确； 由，B互斥，则，正确； ，B相互独立，则， ∴，错误； 发生时A一定发生，，则，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则________，在方向上的投影向量等于________（用向量表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知并应用向量数量积的运算律求，根据投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以． 故答案：；. 13. 已知，其中，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，商数关系及差角正弦公式得，再结合角的范围得，即可得. 【详解】， 由，则， ，， . 故答案为： 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】由借助正弦定理化简，得到的性质。再由向量条件得到点的性质，处理，得到的值,最后求出的值. 【详解】解：由正弦定理得，，，， 为等腰三角形．由得，， ，同理可证，，为的垂心． 如图，延长交于点D，则且D为的中点，，，且C，P，D三点共线，，，．， ，即， ，， ， ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级．某地区在多家果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内的产量（单位：吨）做调查统计并将所有数据分成，，，四组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求m的值并估计样本重量的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1），中位数为47.5； （2）平均数47，方差81. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值，根据中位数的定义及直方图求中位数即可； （2）根据直方图中平均数求法、及方差公式求平均数和方差. 【小问1详解】 ，． ，， 所以中位数落在区间内，设中位数为x， 由，得． 【小问2详解】 平均数的估计值为， 方差的估计值为． 16. 已知，，其中，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得； （2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得； （3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值. 【小问1详解】 由题意知，则， ，则． 【小问2详解】 由题意，则． ， ． 【小问3详解】 ， 由题意知，则． 17. 为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． （1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； （2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； （3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【答案】（1） （2）0.26 （3）0.3744 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果. ，有4种可能的结果. 所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为. 【小问2详解】 设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，. 因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. 【小问3详解】 设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”， “两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”， “两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；． 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，面积为，求b； （3）已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解； （2）根据已知条件先求出，结合正弦定理求出，根据面积公式即可求解； （3）利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，利用半角公式即面积公式求得，两式联立求出即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， ，，，， ，，， ，又，． 【小问2详解】 由（1）知，，，则． ． 由正弦定理得，， ，． 【小问3详解】 由（1）知，， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即． 平分，． ，． ， ， 化简得：， 代入，得， ，， ，的周长为． 19. 某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． （1）求的面积S的最大值； （2）已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据已知可得、，再由三角形面积公式及二倍角正弦公式、正弦函数的性质求面积的最大值； （2）由（1）得三角形周长，再应用正余弦和差与积的关系及换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围. 【小问1详解】 设，由题意， ，，． 当N在D点时，θ最大，此时，， 当P在C点时，θ最小，此时，， ． ， ，， 当，即或时，． 【小问2详解】 记的周长为L，由（1）知， ， ， ，． 令，则， ． ，， ，， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆市2024—2025学年第二学期高一年级期末统一考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 4. 已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30 5. 已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将图象向左平移φ个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则女员工的人数为（ ） A. 28 B. 35 C. 63 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为1 B. 已知复数为纯虚数，则 C. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列说法正确是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，其中，则 D. 在区间上的值域为 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ） A 若，则事件A，B相互独立 B. 若事件A，B互斥，则 C. 若事件A，B相互独立，则 D. 若事件B发生时事件A一定发生，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则________，在方向上的投影向量等于________（用向量表示）． 13. 已知，其中，若，则________． 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若点P满足，且满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级．某地区在多家果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内产量（单位：吨）做调查统计并将所有数据分成，，，四组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求m的值并估计样本重量的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 16. 已知，，其中，． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． （1）若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； （2）某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； （3）对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求b； （3）已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长． 19. 某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． （1）求的面积S的最大值； （2）已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$