第7章 第2课时 组合的应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

第2课时　组合的应用 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　多面手问题 1.“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有(　　) A.26种　　　　B.31种　　　　C.36种　　　　D.37种 2.某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为(　　) A.225　　　　B.185　　　　C.145　　　　D.110 题组二　有限制条件的组合问题 3.某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学从中选3门,若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法种数为(　　) A.32　　　　B.20　　　　C.16　　　　D.14 4.(多选题)甲学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目,则下列说法正确的有(　　) A.若任意选择三门课程,则有种选法 B.若物理和化学至少选一门,则有种选法 C.若物理和历史不能同时选,则有()种选法 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,则有()种选法 5.某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答) (1)若至少有1名组长当选,求不同的选法种数; (2)若至多有3名女团员当选,求不同的选法种数; (3)若既有组长当选,又有女团员当选,求不同的选法种数. 题组三　几何中的组合问题 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,从除顶点P外的其他的顶点和各条棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为　　　　.(用数字作答)  7.平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线. (1)这9个点可确定多少条不同的直线? (2)以这9个点中的3个点为顶点,可以确定多少个三角形? (3)以这9个点中的4个点为顶点,可以确定多少个四边形? 题组四　分组与分配问题 8.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为(　　) A.10　　　　B.20　　　　C.30　　　　D.40 9.某校高二年级在安排自习辅导时,将5位不同学科的老师分配到3个不同班级进行学科辅导,每个班级至少一位老师,则不同分配方案的种数为(　　) A.60　　　　B.150　　　　C.180　　　　D.240 10.某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级,每班至少一个名额,则不同的分配方法共有　　　　种(用数字作答).  题组五　排列与组合的综合应用 11.甲、乙、丙、丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游,他们从榆林古城、镇北台、红石峡、榆林沙漠国家森林公园、红碱淖、白云山、易马城遗址这7个景点中选4个游玩(按照游玩的顺序,最先到达的称为第一站,后面到达的依次称为第二、三、四站),已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园,且第四站去红碱淖或白云山,则他们这四站景点的选法共有(　　) A.180种　　　　B.200种　　　　C.240种　　　　D.300种 12.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念,要求两名男生不相邻,两名女生也不相邻,老师不站在两端,则不同的排法共有(　　) A.8种　　　　B.16种　　　　C.24种　　　　D.32种 13.一排有8个座位,如果每个座位只能坐1人,现安排四人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有　　　　种(用数字作答).  能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　组合的实际应用 1.三位同学参加某项体育测试,每人要从100 m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(　　) A. 2.(多选题)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有(　　) A.甲从M到达N处的走法种数为20 B.甲从M必须经过A3到达N处的走法种数为9 C.甲、乙两人能在A3处相遇的走法种数为36 D.甲、乙两人能相遇的走法种数为162 3.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个三角形,则这2个三角形不共面的情况种数为(　　) A.1 480 B.1 468　　　　 C.1 516 D.1 492 题组二　排列与组合的综合应用 4.在数学中,自然常数e≈2.718 28.小明打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排在第一位,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为(　　) A.48　　　　B.36　　　　C.32　　　　D.30 5.甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(　　) A.204　　　　B.84　　　　C.66　　　　D.60 6.设集合A={a,b,c},其中a,b,c为自然数且a+b+c=100,则符合条件的集合A的个数为(　　) A.833　　　　B.884　　　　C.5 050　　　　D.5 151 7.如图,将1,2,3,4这四个数字填在6个“”中,每个“”中填一个数字,有线段连接的两个“”不能填相同数字,四个数字不必均使用,则不同的填数方法有　　　　种.  8.已知10件不同的产品中有4件次品,现对这10件产品一一进行测试,直至找到所有次品. (1)若恰在第2次测试找到第一件次品,第8次测试才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况? (2)若至多测试6次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况? 答案与分层梯度式解析 第2课时　组合的应用 基础过关练 1.D 2.B 3.C 4.AC 8.B 9.B 11.B 12.D 1.D　记既会划左桨又会划右桨的2人分别为A,B,分三种情况讨论: ①从只会划左桨的3人中选3人划左桨,从剩下的人中选3人划右桨,则有=10种选法; ②从只会划左桨的3人中选2人划左桨,从A,B中选1人划左桨,再从剩下的会划右桨的4个人中选3人划右桨,则有=24种选法; ③从只会划左桨的3人中选1人划左桨,A,B这两人划左桨,会划右桨的3人划右桨,则有=3种选法. 综上,共有10+24+3=37种不同的选法. 故选D. 2.B　分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法. 故选B. 3.C　若从A类选修课中选1门,B类选修课中选2门,则不同的选法种数为=12.所以两类课程中都至少选一门,不同的选法种数为4+12=16.故选C. 4.AC　对于A,从六门课程中选三门,共有种选法,故A正确; 对于B,从物理、化学中选一门,从除物理、化学之外的其他课程中任选两门,有)种选法,故B错误; 对于C,六门课程中任选三门有)种选法,故C正确; 对于D,应分三种情况: ①只选物理,不选化学,且物理和历史不同时选,有种选法; ②只选化学,不选物理,有种选法; ③若物理与化学都选,则有种选法. 故共有()种选法,故D错误. 故选AC. 5.解析　(1)解法一(直接法):至少有1名组长包含两种情况:有1名组长和2名组长, 故不同的选法种数为=2 079. 解法二(间接法):若选出的人中没有组长,则共有种选法, 故至少有1名组长当选的选法种数为=2 079. (2)至多有3名女团员包含四种情况:有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故不同的选法种数为=2 534. (3)既有组长当选,又有女团员当选包含两种情况: ①女组长当选,再从剩余13人中选5人即可,有种选法; ②女组长不当选,男组长当选,从剩余7名男团员,5名女团员(不包括女组长)中选5人,且至少选择1名女团员,有()种选法. 综上,满足条件的不同的选法种数为=2 058. 6.答案　56 解析　分为三类: 第一类,从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点,有4种取法; 第二类,从对角面PBD和对角面PAC上除点P外的4个点中任取3个点,有2种取法; 第三类,在过点P的侧棱中,每条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面,有4种取法. 所以满足题意的不同取法共有4=56(种). 7.解析　把共线的4点分别记为A,B,C,D. (1)解法一(直接法):可分为三类: 第一类:A,B,C,D确定1条直线; 第二类:除A,B,C,D外的5个点可确定条直线; 第三类:从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定条直线. 根据分类计数原理可得不同的直线共有1+=1+10+20=31(条). 解法二(间接法):从9个点中任取2个点,共有+1=31(条). (2)解法一(直接法):①从A,B,C,D中任取2个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定个三角形; ②从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取2个点,可确定个三角形; ③从除A,B,C,D外的5个点中任取3个点,可确定个三角形. 故可确定=80个三角形. 解法二(间接法):从9个点中任取3个点,共有=80个三角形. (3)解法一(直接法):从除A,B,C,D外的5个点中任取4个、3个、2个点,可确定=105个四边形. 解法二(间接法):从9个点中任取4个点,共有种取法,其中不构成四边形的可分为两类: 第一类:4个点共线,有种取法; 第二类:从共线的4个点中任取3个点,第4个点来自于从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,共有种取法. 故可确定=105个四边形. 8.B　将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,所以互不相同的安排方法的种数为=20.故选B. 9.B　将5位老师按照“2,2,1”或“3,1,1”进行分组,再分配给3个班级,所以不同分配方案的种数为=150. 故选B. 10.答案　35 解析　将8个名额排成一列,有7个间隔,在这7个间隔中插入3个隔板,可将8个名额分成4组,依次对应4个班级,所以有=35种分配方法. 方法总结　解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量. 11.B　先考虑第四站,第四站去红碱淖或白云山,有=200种.故选B. 12.D　当老师从左到右排在第二或第四的位置时,有=16种排法. 综上,共有16+16=32种排法.故选D. 13.答案　720 解析　可看成4个坐着人的座位和4个空座位排队, 先安排4个坐着人的座位,共有种排法,产生5个空, 然后安排空座位到空中,分两步:①将相邻的两个空座位捆在一起看成一个元素安排到空中,有种方法. 所以共有=720种坐法. 能力提升练 1.C 2.AB 3.B 4.B 5.A 6.A 1.C　三位同学选择两个项目的试验的基本事件有(-1)个, 所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P=.故选C. 2.AB　对于A,甲从M到达N处只需向上、向右各走3步,共走6步,走法种数为=20,故A正确; 对于B,甲从M到A3的走法有=9种走法,故B正确; 对于C,甲经过A3的走法有9种,同理乙经过A3的走法有9种,则两人能在A3处相遇共有9×9=81种走法,故C错误; 对于D,若甲、乙两人相遇,则相遇点为A1,A2,A3,A4中的一个,在A1,A4相遇各有1种走法,在A2,A3相遇各有81种走法,故甲、乙两人能相遇的走法有1+1+81+81=164(种),故D错误. 故选AB. 3.B　因为长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的任意三个均不共线,所以从八个顶点中任取三个均可构成1个三角形,共有=1 468(种),故选B. 4.B　分两种情况: ①8排在第一位,则第二位也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有=12个不同的密码; ②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2,7和1中剩下的数排列,此时有=24个不同的密码. 综上,共有12+24=36个不同的密码.故选B. 5.A　分三类: 第一类:甲、乙、丙、丁各自站在一级台阶上,共有=24种站法; 第二类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人站在剩余3级台阶中的同一级台阶上,共有=36种站法; 第三类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人各自站在剩余3级台阶中的一级台阶上,共有=144种站法. 所以不同的站法种数是24+36+144=204.故选A. 6.A　将100个小球排成一列,在101个空位(包括两端的空位)中插入第一个挡板,再在产生的102个空位中插入第二个挡板,将小球分成三段,记每段中的小球个数分别为a,b,c,共有=5 151种结果, 因为a,b,c中含有两个0,1,2,…,50的情况各有3种, 所以a,b,c三个数各不相等的结果共有5 151-3×51=4 998种, 因为三个元素的每种取值有6种不同顺序, 所以由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为4 998÷6=833.故选A. 7.答案　264 解析　如图, 当用四个数字时,先填A,E,D,有种填法,再从B,F,C中选一处填第四个数,如B,再填F, 若F与D相同,则C有2种填法,若F与D不同,则C有1种填法,故有(2+1)种填法; 当用三个数字时,先填A,E,D,有种填法. 由分类计数原理得,不同的填数方法为=264(种). 8.解析　(1)需测试8次,按顺序可看成8个位置,第一步,第一个位置放置正品,第二步,选2个次品放在第二和第八个位置,第三步,在第三到第七个位置中选2个位置放置剩余的2个次品,其他3个位置放3个正品,由分步计数原理可得,共有=86 400种不同的测试情况. (2)分三种情况: ①恰好4次找到所有次品,即前4次测试都是次品,有种不同的情况; ②恰好5次找到所有次品,即第5次是次品,前4次中有3次是次品,有种不同的情况; ③恰好6次找到所有次品,即第6次是次品,前5次中有3次是次品或前6次都是正品,有()种不同的情况. 所以不同的测试情况种数为)=8 520. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$