6.3.4 空间距离的计算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3.4　空间距离的计算 基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　点到直线的距离的计算 1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,1),B(0,1,0),C(1,2,3),则点C到直线AB的距离为(　　) A.　　　　D.3 2.如图,几何体ABCD-EFGH是棱长为6的正方体,若,则点P到直线CH的距离为(　　) A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 3.四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=1,OB=2,OC=3,点D在棱OC上,且OC=3OD,点G为△ABC的重心,则点G到直线AD的距离为(　　) A. 题组二　点到平面的距离的计算 4.已知平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　) A.　　　　D.1 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,则点C到平面AEF的距离为(　　) A. 题组三　直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的计算 6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN间的距离为　　　　.  7.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1靠近D1的三等分点,F为线段BB1靠近B的三等分点,则直线FC1到平面AB1E的距离为　　　　.  8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD间的距离为　　　　.  9.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是线段DD1,AB,BB1的中点. (1)求证:平面FGC1∥平面AB1E; (2)求直线GC1到直线AE的距离; (3)求直线GC1到平面AB1E的距离. 能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组　空间距离的计算及应用 1.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P满足,则下列说法正确的是(　　) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上运动,则点P到直线CC1的距离的最小值为(　　) A. 3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,棱A1D1,CC1的中点分别是E,F,点G是底面ABCD内任意一点(包括边界),则三棱锥G-B1EF的体积的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系O-xyz中,经过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,经过点P且一个方向向量为n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直线l的方程为.阅读上面材料并解决下面问题:现给出平面α的方程为3x-5y+4z+1=0,直线l的方程为,则直线l到平面α的距离为　　　　.  5.如图,几何体是由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的,其中AB=2,PA=,则三棱锥B1-PDA的体积为　　　　.  6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1,BC=2. (1)求二面角B-PD-C的正弦值; (2)在棱PC上确定一点E,使异面直线PD与BE所成角的大小为60°,并求此时点E到平面PBD的距离. 答案与分层梯度式解析 6.3.4　空间距离的计算 基础过关练 1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 1.A　由题意可得=(0,1,2), 则|, 设向量u是直线AB的单位方向向量,则u=, ·u=(0,1,2)·, 则点C到直线AB的距离为.故选A. 2.A　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(6,6,0),H(0,6,6),B(6,0,0),D(0,6,0),E(0,0,6), 所以=(-6,0,6), 因为=(1,2,5),所以P(1,2,5),所以=(-5,-4,5), 所以, 所以点P到直线CH的距离为=4. 故选A. 3.A　连接AG,由题意得OA,OB,OC互相垂直,以点O为原点,OA,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(0,0,1), 由点G为△ABC的重心,得G, 所以=(-1,0,1), 所以|, 所以点G到直线AD的距离d=.故选A. 4.B　∵A(1,0,-1),B(0,-1,1),∴=(-1,-1,2), 又平面α的一个法向量为n=(1,2,1), ∴点A到平面α的距离为.故选B. 5.A　如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),E(1,1,2),F(1,2,1),C(2,2,0), 所以=(2,2,0). 设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令y=-1,得x=3,z=-1,所以n=(3,-1,-1), 故点C到平面AEF的距离为.故选A. 6.答案　 解析　如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(1,1,0),N, ∴=(1,1,0), 设异面直线AM与CN的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥, ∴n·x+z=0,n·z=0, ∴x=-2z,y=z, 取z=2,则x=-4,y=1,∴n=(-4,1,2), ∴异面直线AM与CN间的距离d=. 7.答案　 解析　如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 则A(3,0,0),E(0,0,2),F(3,3,1),C1(0,3,3),B1(3,3,3), 所以=(-3,0,2),所以, 又因为AE⊂平面AB1E,FC1⊄平面AB1E, 所以FC1∥平面AB1E, 所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离. 设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=3,得x=2,y=-3,则n=(2,-3,3), 所以点F到平面AB1E的距离d=,故直线FC1到平面AB1E的距离为. 8.答案　 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴=(0,4,0), ∴,∴EF∥MN,BF∥AM, 又EF⊄平面AMN,MN⊂平面AMN,∴EF∥平面AMN,同理得,BF∥平面AMN,又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面EFBD,∴平面AMN∥平面EFBD. ∴平面AMN与平面EFBD间的距离即为点B到平面AMN的距离, 设平面AMN的一个法向量是n=(x,y,z), 则令z=1,则x=2,y=-2, ∴n=(2,-2,1). ∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 9.解析　(1)证明:以A为原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则F(0,1,0),G(0,2,1),C1(2,2,2),A(0,0,0),B1(0,2,2),E(2,0,1), 则=(2,0,1), 设平面FGC1的一个法向量为m=(x,y,z), 则令z=2,则y=-2,x=-1, 所以m=(-1,-2,2). 设平面AB1E的一个法向量为n=(a,b,c), 则令c=2,则a=-1,b=-2, 所以n=(-1,-2,2). 所以m=n,所以平面FGC1∥平面AB1E. (2)由(1)得=(2,0,1), 所以,即GC1∥AE,所以点C1到直线AE的距离即为直线GC1到直线AE的距离, 易知=(2,2,2),所以,所以直线GC1到直线AE的距离为. (3)因为平面FGC1∥平面AB1E,GC1⊂平面FGC1, 所以GC1∥平面AB1E, 所以直线GC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. 由(1)知=(-2,0,0),平面AB1E的一个法向量为n=(-1,-2,2), 所以点C1到平面AB1E的距离为, 所以直线GC1到平面AB1E的距离为. 能力提升练 1.AB 2.A 3.C 1.AB　以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E, 所以=(0,1,-1), 设∠ABE=θ,则cos θ=,故sin θ =, 所以点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×,故A正确. 易知,平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1), 则点O到平面ABC1D1的距离d2=,故B正确. 设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1,得x=1,y=1,则n=(1,1,1). 所以点D1到平面A1BD的距离d3=. 易知平面A1BD∥平面B1CD1, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C错误. 因为,所以, 易知=(1,0,0), 所以点P到直线AB的距离d4=,故D错误.故选AB. 2.A　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(1,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2), ∴=(1,0,0). 解法一:设异面直线CC1与ED1的公垂线的方向向量为u=(x,y,z),则u⊥,u⊥, 则 令x=1,则y=-,z=0,∴u=, ∴异面直线D1E与CC1之间的距离d=, ∵点P在线段D1E上运动, ∴点P到直线CC1的距离的最小值为. 解法二:设P(x,y,z),,λ∈[0,1],则=(-λ,-2λ,2λ),则(x-1,y-2,z)=(-λ,-2λ,2λ), 所以 所以P(1-λ,2-2λ,2λ), 又C(0,2,0),∴=(1-λ,-2λ,2λ), ∴点P到直线CC1的距离d1= =, 当且仅当λ=时,d1取最小值,为,∴点P到直线CC1的距离的最小值为.故选A. 3.C　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则B1(2,2,2),E(1,0,2),F(0,2,1), 所以=(-1,-2,0), 则|, 取EF的中点M,连接B1M,则M, 所以,所以|, 易得B1E=B1F,则B1M⊥EF, 所以△B1EF的面积S=·EF·B1M=, 设平面B1EF的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=2,得y=-1,z=-4,则n=(2,-1,-4), 设G(m,n,0)(0≤m≤2,0≤n≤2), 则=(2-m,2-n,2), 所以点G到平面B1EF的距离d=, 所以S·d=, 又-2≤2m-n≤4,所以,即.故选C. 4.答案　 解析　由题可知点O(0,0,0)在直线l上,取平面α内一点P,则,由题意可得平面α的一个法向量为m=(3,-5,4), 所以cos<,m>=, 所以直线l到平面α的距离为|,m>|=. 5.答案　2 解析　连接AC,BD,且AC,BD相交于点O,连接PO, 易知PO⊥平面ABCD, 又AO⊂平面ABCD,所以PO⊥AO, 易得AO=,又PA=,所以PO==2. 以D1为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示, 则A(2,0,2),D(0,0,2),B1(2,2,0),P(1,1,4), 所以=(0,2,-2), 设平面PDA的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令z=1,得x=0,y=-2,则n=(0,-2,1). 设B1到平面PDA的距离为d, 则d=. 在△PDA中,PA=PD=,AD=2,所以S△PDA=, 所以三棱锥B1-PDA的体积V=S△PDA·d==2. 6.解析　(1)以{}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(1,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,2,0), 所以=(1,1,0). 设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则取x1=1,得n1=(1,1,1), 设平面PCD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则取x2=1,得n2=(1,-1,-1), 设二面角B-PD-C的平面角的大小为θ, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|=, 所以sin θ=. (2)由(1)知,=(1,2,-1),设(0<λ≤1),则=(λ,2λ,-λ),则=(λ-1,2λ,-λ+1). 因为异面直线PD与BE所成角的大小为60°, 所以cos 60°=|cos<,解得λ=或λ=0(舍去), 故, 由(1)知平面PBD的一个法向量为n1=(1,1,1), 所以点E到平面PBD的距离d=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$