4.3.1 一元线性回归模型（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4.3　统计模型 4.3.1　一元线性回归模型 基础过关练 题组一　变量间的相关关系 1.(多选题)对于任意给定的两个变量的统计数据,下列说法错误的是(　　) A.一定可以分析出两个变量之间的关系 B.一定可以用一条直线近似地表示两者之间的关系 C.一定可以作出散点图 D.一定可以用确定的表达式表示两者之间的关系 2.观察下列散点图,则①正相关,②负相关,③不相关与图中的甲、乙、丙三个散点图相对应的是(　　) A.①②③　　　　B.②①③ C.①③②　　　　D.③①② 3.下表给出了5组数据,选出4组数据使得x与y的线性相关程度最大,且保留第1组数据(-5,-3),则在余下的4组数据中应去掉(　　) 第i组 1 2 3 4 5 xi -5 -4 -3 -2 4 yi -3 -2 4 -1 6 A.第2组数据　　　　B.第3组数据 C.第4组数据　　　　D.第5组数据 题组二　回归直线方程及其应用 4.根据表中的数据,用最小二乘法得到y关于x的回归直线方程为=14x-14,则表中n的值为(　　) x 2 3 4 5 6 y 20 n 40 60 70 A.15.5　　　　B.20　　　　C.20.5　　　　D.25 5.已知变量x和y的统计数据如下表: x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 5.5 7 如果由表中数据可得回归直线方程为,那么,当x=10时,残差为　　　　.(注:残差=观测值-预测值)  6.对有关数据的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其回归直线方程为=0.30x+9.99.根据建设项目的需要,28天后混凝土的抗压强度不得低于89.7 kg/cm2,则每立方米混凝土的水泥用量最少应为　　　　kg.  7.销售费用预算是以销售收入预算为基础,通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系,力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示,某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的8%~10%为合理区间,当年销售费用超出年销售收入的10%时,说明企业的销售环节出现一定的问题,需要加强销售管理.该企业的年销售费用x(单位:千万元)和年销售收入y(单位:千万元)的相关数据如下表所示: 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x 3 5 6 8 9 11 y 31 50 54 86 85 114 (1)通过数据分析,该企业的年销售费用x与年销售收入y之间符合线性相关关系,求出回归直线方程; (2)若该企业2024年的年销售费用的预算为12千万元,试预测2024年的年销售收入,并判断2024年的年销售费用的预算是否在合理区间内.(精确到0.01千万元) 参考数据:xiyi=3 374. 参考公式:中,. 8.千百年来,人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代,烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后,科技的进步带动了电讯事业的发展,电报、电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后,计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在,5G的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革.某科技创新公司基于领先技术的支持,5G经济收入在短期内逐月攀升,该创新公司在1月份至5月份的5G经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如下表: 时间x/月份 1 2 3 4 5 收入y/百万元 10 15 19 23 28 (1)根据上表中的数据,求出y关于x的回归直线方程,并预测该公司6月份的5G经济收入; (2)从这5个月中随机抽取3个月,记月收入超过15百万元的月份个数为X,求X的分布列和数学期望. 参考公式:回归直线方程中,. 题组三　相关系数 9.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较正确的是(　　) A.r2<r4<0<r3<r1　　　　B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1　　　　D.r2<r4<0<r1<r3 10.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱,某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数,求得的数值依次为-0.98,-0.27,0.36,0.93,则这四组数据中线性相关性最强的是　　　　组数据.  11.人口结构的变化,能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高时,住房需求就会增加,而当一个地区老龄化严重时,住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市,统计了每个城市的老龄化率x和空置率y,如下表所示: 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 老龄 化率x 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 空置 率y 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 (1)若老龄化率不低于0.2,则该城市为超级老龄化城市,根据表中数据,估计该地区城市为超级老龄化城市的概率; (2)估计该地区城市的老龄化率x和空置率y的相关系数.(结果精确到0.01) 参考公式:相关系数r=. 参考数据:≈0.04,≈0.04,xiyi=0.241 3,yi=1.2. 题组四　非线性回归分析 12.某工厂每日生产一种产品x(x≥1)吨,每日生产的该产品当日销售完毕,日销售额为y万元,产品价格随着产量的变化而变化,经过一段时间的产销,得到了x,y的一组统计数据,如下表: 日产量x/吨 1 2 3 4 5 日销售额y/万元 5 12 16 19 21 (1)请判断y=bx+a与y=dln x+c中哪个模型更适合刻画x,y之间的关系,并从函数增长趋势方面给出简单的理由; (2)根据你的判断及下面的公式和数据,求出y关于x的回归方程,并估计当日产量为6吨时,日销售额是多少.(结果保留整数) 参考公式:回归直线方程中,. 参考数据:≈0.96,5ln 1+12ln 2+16ln 3+19ln 4+21ln 5≈86,ln 6≈1.8,(ln 1)2+(ln 2)2+(ln 3)2+(ln 4)2+(ln 5)2≈6.2. 能力提升练 题组一　回归直线方程及其应用 1.已知x,y的对应值如下表所示: x 0 2 4 6 8 y 1 m+1 2m+1 3m+3 11 y与x具有较好的线性相关关系,可用回归直线方程=1.3x+0.6近似刻画,则在y的取值中任取2个均不大于9的概率为(　　) A. 2.(多选题)已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1,2,3,…,n}求得回归直线方程为=1.5x+0.5,且=3,现发现数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得回归直线的斜率为1.2,则(　　) A.变量x与y具有正相关关系 B.去除后y的估计值增加速度变快 C.去除后与去除前均值不变 D.去除后的回归直线方程为=1.2x+1.4 3.某二手汽车经销商对其所经营的某型号二手汽车的使用年数x(0<x≤10,x∈N)与每辆车的销售价格y(万元)进行整理,得到如下对应数据: 使用年数x 2 4 6 8 10 销售价格y/万元 16 13 9 7 5 (1)根据表中数据,用最小二乘法求y关于x的回归直线方程; (2)已知每辆该型号汽车的收购价格w(万元)与使用年数x(0<x≤10,x∈N)的函数关系为w=根据(1)中所求回归直线方程,预测x为何值时,该经销商销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大,且最大利润是多少. 附:回归直线方程中,. 4.大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受车流量影响的程度,某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点,统计每个监测点24 h内的车流量x(单位:千辆),同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度y(单位:μg/m3),得到的数据如表所示: 监测点编号 1 2 3 4 5 x 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 y 66 72 113 34 35 (1)建立y关于x的一元线性回归模型,并用相关系数加以说明(一般地,相关系数的绝对值在0.8以上(含0.8)认为线性相关性较强,否则认为线性相关性较弱); (2)我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24 h平均浓度为75 μg/m3,该地为使PM2.524 h平均浓度不超过68.6 μg/m3,拟对车流量作适当控制,请你根据本题数据估计车流量控制的最大值; (3)从5个监测点中抽取3个,记PM2.5的平均浓度不超过68.6 μg/m3的个数为X,求X的分布列和数学期望. 参考公式:回归直线方程中,;相关系数r= 题组二　非线性回归分析 5.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位:dm2)与水生植物的株数y(单位:株)之间的相关关系,收集了4组数据,用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系,设z=ln y,x与z的数据如表格所示,得到x关于z的回归直线方程为,则=(　　) x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A.-2　　　　B.-1　　　　C.e-2　　　　D.e-1 6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,于是对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 注:表中wi=wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知这种产品的年利润z与年宣传费x,年销售量y之间的关系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题: ①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预测值是多少? ②当年宣传费x为何值时,年利润的预测值最大? 附:回归直线方程u中,. 7.某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据: x/千件 1 2 3 4 5 6 7 y/元 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据,绘制如图所示的散点图. 观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c·dx分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断,y=a+bln x与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知每件产品的原料成本为10元,若该产品的总成本不得高于123 470元,请估计最多能生产多少千件产品. 参考数据: 100.54 4 62.14 1.54 140 2 535 50.12 3.47 其中vi=lg yi,. 参考公式:回归直线方程u中,. 答案与分层梯度式解析 4.3　统计模型 4.3.1　一元线性回归模型 基础过关练 1.ABD 2.C 3.B 4.B 9.B 1.ABD　给出两个变量的统计数据,总可以作出相应的散点图,但不一定能分析出两个变量之间的关系,更不一定符合线性相关,即不一定能用一条直线近似地表示两者之间的关系,故A、B中说法不正确,C中说法正确.两个变量之间不一定具有函数关系,故D中说法不正确.故选ABD. 2.C 3.B　画出散点图如图所示, 由图可知,应去掉第3组数据(-3,4),故选B. 4.B　由题表中的数据计算可得,, 因为回归直线过点, 所以=14×4-14,解得n=20. 故选B. 5.答案　0.3 解析　=5, 所以=5-0.85×8=-1.8, 所以=0.85x-1.8, 所以当x=10时,=0.85×10-1.8=6.7, 所以残差为7-6.7=0.3. 6.答案　265.7 解析　由题意,得0.30x+9.99≥89.7,解得x≥265.7, 故每立方米混凝土的水泥用量最少应为265.7 kg. 7.解析　(1)由已知得,=70. 又xiyi=3 374,=336, 所以, 所以, 所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的回归直线方程为. (2)2024年的年销售收入的预测值≈121.67(千万元).因为12÷121.67×100%≈9.9%,所以2024年的年销售费用的预算在合理区间内. 8.解析　(1)由题意得, =19, =12+22+32+42+52=55, =10+30+57+92+140=329, 所以, , 故y关于x的回归直线方程为. 当x=6时,, 所以预测该公司6月份的5G经济收入为百万元. (2)这5个月中,月收入超过15百万元的月份有3个, 所以X的所有可能取值为1,2,3, P(X=1)=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×. 9.B　由题中的散点图可以看出,图1和图3是正相关,则相关系数大于0,即r1>0,r3>0;图2和图4是负相关,则相关系数小于0,即r2<0,r4<0.又图3和图4中的点相对于图1和图2中的点更加集中,所以r3更接近于1,r4更接近于-1,所以r4<r2<0<r1<r3.故选B. 10.答案　甲 解析　因为|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强,且|-0.98|>0.93>0.36>|-0.27|, 所以甲组数据的线性相关性最强. 11.解析　(1)由题表中的数据可知,调查的10个城市中,老龄化率不低于0.2的有4个, 所以估计该地区城市为超级老龄化城市的概率为=0.4. (2)由题表中的数据得,=0.12, 则r= ≈ =≈0.63. 故该地区城市的老龄化率x和空置率y的相关系数约为0.63. 12.解析　(1)y=dln x+c更适合刻画x,y之间的关系.理由:由题表中的数据可知,x的值每增加1,函数值y的增加量分别为7,4,3,2,增加得越来越缓慢,符合对数函数模型的增长规律,与一元线性回归模型的均匀增长存在较大差异,故y=dln x+c更适合刻画x,y之间的关系. (2)令z=ln x, 由题意得=14.6, 所以≈=10, ≈14.6-10×0.96=5, 所以y关于z的回归直线方程为=10z+5, 所以y关于x的回归方程为=10ln x+5. 当x=6时,=10ln 6+5≈10×1.8+5=23. 估计当日产量为6吨时,日销售额为23万元. 能力提升练 1.B 2.ACD 5.C 1.B　由题表得=4, , 因为回归直线一定过点(), 所以1.3×4+0.6=,解得m=2, 所以y的取值分别为1,3,5,9,11, 从这5个数中任取2个均不大于9的概率P=. 2.ACD　由y关于x的回归直线方程为=1.5x+0.5,知=1.5>0,∴变量x与y具有正相关关系,故A正确;∵1.2<1.5,∴去除后y的估计值增加速度变慢,故B错误;去除前的均值=3,去除的两个数据点的横坐标的平均数为3,则去除后与去除前均值不变,由回归直线恒过样本点的中心,可得去除前+0.5=1.5×3+0.5=5,而去除的两个数据点的纵坐标的平均数为5,则去除后与去除前均值不变,故C正确;设去除后的回归直线方程为,把去除后样本点的中心(3,5)代入,得5=1.2×3+=1.4,∴去除后的回归直线方程为=1.2x+1.4,故D正确.故选ACD. 3.解析　(1)由题表中的数据得,xiyi=2×16+4×13+6×9+8×7+10×5=244, 所以=10+1.4×6=18.4, 所以y关于x的回归直线方程为=-1.4x+18.4. (2)z= 在z=-0.05x2+0.3x+1.3(0<x≤6)中,当x=3时,zmax=1.75; 在z=0.05x+0.8(6<x≤10)中,当x=10时,zmax=1.3. 显然1.75>1.3, 所以当x=3时,利润z最大,且最大利润是1.75万元. 4.解析　(1)由题表得=1.2, =64, xiyi=1.3×66+1.2×72+1.6×113+1.0×34+0.9×35=418.5, =1.32+1.22+1.62+1.02+0.92=7.5, =662+722+1132+342+352=24 690, 所以=115, =64-115×1.2=-74, 所以=115x-74. r= =≈0.97. 因为|0.97|>0.8, 所以y与x的线性相关性较强. (2)令115x-74≤68.6,得x≤1.24, 故估计车流量控制的最大值为1.24. (3)结合题表知,5个监测点中PM2.5的平均浓度不超过68.6 μg/m3的有3个,所以X的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)=, P(X=3)=. 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×. 5.C　由已知可得,=4,所以4=1.2×5+,解得=-2,所以=1.2x-2,由z=ln y,得ln =1.2x-2,所以=e1.2x-2=e-2·e1.2x,则=e-2.故选C. 6.解析　(1)由题中散点图知各点呈非线性递增趋势,所以y=c+d适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. (2)由wi=,得y=c+dw, 则=68, =563-68×6.8=100.6, 所以. (3)①当x=49时,=576.6, =0.2×576.6-49=66.32. ②由题意得,-6.8)2+66.36, 当=6.8,即x=46.24时,年利润的预测值最大. 7.解析　(1)根据题中的散点图可知,y=c·dx适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型. (2)对y=c·dx两边同时取常用对数,得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d.由lg y=v,得v=lg c+xlg d. ∵=50.12, ∴lg =0.25, lg lg =1.54-4×0.25=0.54, ∴=0.54+0.25x,∴lg =0.54+0.25x, ∴=100.54+0.25x=3.47×100.25x. (3)设生产了x千件该产品,生产总成本为g(x)元,则g(x)=3.47×100.25x+x×10×1 000. 易知g(x)=3.47×100.25x+10 000x在其定义域内单调递增,且g(12)=3.47×103+120 000=123 470, 所以估计最多能生产12千件产品. 23 学科网（北京）股份有限公司 $$