3.3 二项式定理与杨辉三角（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.3　二项式定理与杨辉三角 基础过关练 题组一　对二项式定理的理解 1.若∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a-b=(　　) A.3　　　　B.2　　　　C.0　　　　D.-1 2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(　　) A.x5　　　　B.x5-1 C.x5+1　　　　D.(x-1)5-1 3.设A=37+× 32+1,则A-B的值为(　　) A.128　　　　B.129　　　　C.47　　　　D.0 题组二　展开式的特定项、项的系数及二项式系数 4.的展开式中,含x2的项的系数是(　　) A.-462　　　　B.462　　　　C.792　　　　D.-792 5.若的展开式中含有非零常数项,则正整数n的可能取值是(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 6.已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为(　　) A.14　　　　B.-14 C.240　　　　D.-240 7.的展开式的第4项是　　　　.  8.若(x+2)6+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a3=　　　　.  9.已知在的展开式中,第5项为常数项. (1)求n的值; (2)求展开式中含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 题组三　二项式系数的性质 10.在(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为(　　) A.18　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6 11.∀x≠0,可以写成关于x2+的多项式,则该多项式各项系数之和为(　　) A.240　　　　B.241　　　　C.242　　　　D.243 12.(多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是(　　) A.a2+a5=588　　　　 B.a1+a2+…+a7=1 C.a1+a3+a5+a7=　　　　 D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1 13.已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中的常数项为　　　　.  14.若的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含的项的系数是　　　　.  15.已知(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 题组四　杨辉三角 16.下图是与杨辉三角有类似性质的三角形数阵,若a,b依次是某行的前两个数,当a=7时,b=(　　) A.20　　　　B.21　　　　C.22　　　　D.23 17.(多选题)如图所示,在“杨辉三角”中,下列命题正确的是(　　) A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想: B.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+…+=2n C.第20行中,第10个数最大 D.第15行中从左到右第7个数与第8个数的比为7∶9 18.阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的规律. 根据上述规律,完成下列问题: (1)直接写出:(a+b)5=　　　　;  (2)(a+1)8的展开式中a项的系数是　 .  能力提升练 题组一　展开式的特定项及项的系数 1.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为(　　) A.2　　　　B.3　　　　 C.4　　　　D.5 2.的展开式中的常数项为(　　) A.588　　　　B.589　　　　 C.798　　　　D.799 3.(x-2y+2z)5的展开式中,xy3z的系数为(　　) A.-320　　　　B.320　　　　C.-240　　　　D.240 4.已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a=　　　　.  5.若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,则实数m的值为　　　　.  题组二　二项式系数的性质 6.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数之和为0,则展开式中含x6的项的系数为(　　) A.45　　　　B.-45　　　　C.120　　　　D.-120 7.(多选题)对于(m为常数,且m≠0),下列说法正确的是(　　) A.展开式有常数项 B.展开式的第6项的二项式系数最大 C.若m=2,则展开式的各二项式系数和为310 D.≥1在x∈[1,3]上恒成立,则m≥0 8.(多选题)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则下列说法正确的是(　　) A.展开式中所有项的二项式系数之和为22 021 B.展开式中所有奇次项系数之和为 C.展开式中所有偶次项系数之和为　　　　 D.+…+=-1 9.若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=　　　　.  10.已知的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 题组三　杨辉三角 11.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则下列说法错误的是(　　) A.在第9条斜线上,各数之和为55 B.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小 C.第n条斜线上共有个数 D.在第11条斜线上,最大的数是 12.(多选题)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中提出了杨辉三角,如图所示,这是数学史上的一个伟大成就.该图中蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是(　　) A.+…+ B.111=11,112=121,……,115=15 101 051 C.从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个 D.第5行到第10行的所有数字之和为2 024 题组四　二项式定理的应用 13.1.957的计算结果精确到个位的近似值为(　　) A.106　　　　B.107　　　　C.108　　　　D.109 14.假设今天是星期二,那么经过22 021天后是(　　) A.星期三　　　　B.星期四　　　　C.星期五　　　　D.星期六 15.若n是正奇数,则7n+7n-2+…+7被9除的余数为(　　) A.2　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.8 16.证明:(1)5151-1能被7整除; (2)32n+2-8n-9是64的倍数. 答案与分层梯度式解析 3.3　二项式定理与杨辉三角 基础过关练 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 10.C 11.D 12.ACD 16.C 17.ABD 1.C　由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.故选C. 2.B　逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B. 3.A　A-B=×30=(3-1)7=27=128. 4.D　的展开式的通项公式为Tk+1=x12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5, 所以含x2项的系数是(-1)5=-792.故选D. 5.C　的展开式的通项公式为Tr+1=(3x2)n-r··3n-r··x2n-5r, 因为的展开式中含有非零常数项, 所以存在n,r∈N+,使得2n=5r, 所以n=,结合选项可知,当r=2时,n=5. 故选C. 6.C　的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由题可得=2∶5,即5,解得n=6,所以Tr+1=,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为26-2(-1)2=15×16×1=240,故选C. 7.答案　-20x2 解析　的展开式的通项公式为Tr+1=,r=0,1,…,6, 则第4项是T4=(-1)3×=-20x2. 8.答案　140 解析　(x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,得r=3, 则(x+2)6的展开式中含x3的项为23x3=160x3. (x-1)6的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3, 则(x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3x3=-20x3. 故a3=160-20=140. 9.解析　(1)的展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤n,r∈N). 因为展开式中的第5项为常数项, 所以当r=4时,有=0,解得n=8. (2)由(1)知n=8,故展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1, 故展开式中含x2的项的系数为=-4. (3)由题意得所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=, 故展开式中所有的有理项为-4x2,. 10.C　令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以,其展开式的通项公式为Tr+1=(r=0,1,2,3),令r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31=9.故选C. 11.D　+2, 令t=x2+,得=(t+2)5, 令t=1,得(t+2)5=35=243, 所以该多项式各项系数之和为243.故选D. 12.ACD　(2x-1)7的展开式的第(r+1)项为Tr+1=·(2x)7-r·(-1)r=·(-1)r·27-r·x7-r, 又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7, 所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确. 令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1; 令x=0,则(0-1)7=a0=-1, 故a1+a2+…+a7=1-(-1)=2,故B错误. 令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a6+a7)-(a0-a1+a2-…+a6-a7)]=,故C正确. |a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD. 13.答案　405 解析　由题意得,由组合数的性质可知n=10,所以. 因为展开式的各项系数之和为1 024, 所以在中,令x=1,得(a-1)10=1 024=210. 因为a>0,所以a=3. 所以的展开式的通项公式为Tr+1=. 令20-=0,解得r=8, 所以常数项为(-1)8310-8=405. 14.答案　- 解析　因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以=6-1,即n=10,故, 其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤10,r∈N),令5-,解得r=3,∴展开式中含的项的系数为··(-2)3=-. 15.解析　由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10, 化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为. (1)令x=1,得展开式中各项系数的和为(1-2)8=1. (2)展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N), 令4-,得r=1, 故展开式中含的项为T2=-16. (3)展开式中的第(r+1)项的系数的绝对值为·2r,设第(r+1)项的系数的绝对值最大, 则解得5≤r≤6(r∈N). 又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11. 由n=8知第5项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T5=1 120x-6. 16.C　观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22. 17.ABD　易知A,B正确;对于C,第20行的数是(i=0,1,2,…,20),最大的数是,即是第11个数,故C错误; 对于D,易知第n行从左到右第k个数是,则第15行中从左到右第7个数与第8个数分别是和,则,故D正确. 故选ABD. 18.答案　(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　(2)8 解析　(1)由题图可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (2)由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式中a项的系数为=8. 能力提升练 1.B 2.B 3.A 6.A 7.AB 8.ACD 11.A 12.AC 13.B 14.D 15.C 1.B　的展开式的通项公式为Tr+1=x2n-3r, 令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N+,所以当r=2时,n有最小值3.故选B. 2.B　解法一:的展开式的通项公式为Tr+1=·,r=0,1,…,8, 的展开式的通项公式为Tk+1=)8-r-k·,0≤k≤r,k∈N, 令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展开式中的常数项为=589. 故选B. 解法二:易知可以看成8个因式+1相乘, 若得到常数项,则有以下情况:①8个1;②2个,1个,5个1;③4个,2个,2个1. 所以展开式中的常数项为×12=589. 故选B. 3.A　因为(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5, 所以其通项公式为Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r, 令r=1,得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z. (x-2y)4的通项公式为T'n+1=·x4-n·(-2y)n, 令n=3,得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3, 因此xy3z的系数为10×(-32)=-320,故选A. 4.答案　1 解析　(ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4, 因为(x+1)4中含x2的项为x2,含x3的项为x3, 所以(ax-2)(x+1)4中含x3的项为axx3, 故a=-2,解得a=1. 5.答案　2或-2 解析　在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中, 令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023, 令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023, 所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2 =(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023) =(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023, 所以m2-1=3,解得m=±2. 6.A　由题意得+1=6,解得n=10, ∴. ∵展开式的所有项的系数之和为0, ∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1. ∴,其展开式的通项公式为Tr+1=x10-2r(0≤r≤10,r∈N), 令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A. 7.AB　对于A,的展开式的通项公式为Tr+1=x10-r·x10-2r, 令10-2r=0,可得r=5,因此展开式的第6项为常数项,故A正确; 对于B,由的展开式,结合二项式系数的性质,可得展开式的第6项的二项式系数最大,故B正确; 对于C,当m=2时,展开式的各二项式系数和为210,故C错误; 对于D,由≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+≥1或x+≤-1在x∈[1,3]上恒成立, 即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立, 令g(x)=x-x2,则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=0, 令h(x)=-x-x2,则h(x)在[1,3]上单调递减,所以h(x)min=h(3)=-12, 所以m≥0或m≤-12,故D错误.故选AB. 8.ACD　令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.展开式中所有项的二项式系数的和为+…+=22 021,故A正确;由可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,故B错误;由可得a0+a2+a4+…+a2 020=,故C正确;令x=0,有a0=1,令x=,有a0++…+=0,故+…+=-1,故D正确.故选ACD. 9.答案　1-32 020 解析　令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020, 令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020, 即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1, 故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020. 10.解析　(+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n. 由题意得22n-2n=992,解得n=5, 所以. (1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即. (2)的展开式的通项公式为Tr+1=·(2x)100-r··2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为·2100-r, 设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项, 则解得≤k≤, ∵k∈N,∴k=33, ∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34. 11.A　从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,设这些数依次为a1,a2,…, 则各数出现的规律是an+2=an+an+1(n∈N+), 所以第8条斜线上各数之和为8+13=21,第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A中说法错误; 由题图易知,从左往右,第1条斜线上的数:1, 第2条斜线上的数:, 第3条斜线上的数:, 第4条斜线上的数:, 第5条斜线上的数:, 第6条斜线上的数:, …… 依此规律,第11条斜线上的数为,最大的数是,故D中说法正确; 由上面的规律可知:n为奇数时,第n条斜线上共有个数, n为偶数时,第n条斜线上共有个数, 所以第n条斜线上共有个数,故C中说法正确; 由上述每条斜线上的数的规律可知,在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故B中说法正确.故选A. 12.AC　对于A,已知(m,n∈N+,m<n), 则+…++…++…+=…=,故A正确; 对于B,115=(1+10)5=15+×104+105=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B错误; 对于C,第n(n∈N)行共有(n+1)项, 从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=, 因为=2 016,且2 024=2 016+8, 所以从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个,故C正确; 对于D,第n(n∈N+)行所有项之和为+…+=2n, 所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210=32+64+…+1 024=2 016,故D错误. 故选AC. 13.B　1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故选B. 14.D　22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),在·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4=4,故经过22 021天后是星期六,故选D. 15.C　原式=7n-2+…+7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1, 因为n为正奇数,所以上式可化简为9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以原式除以9的余数为7.故选C. 16.证明　(1)5151-1=(49+2)51-1=·4951+·4950·2+…+·49·250+·251-1, 易知除·251-1以外各项都能被7整除. 又·251-1=(23)17-1=(7+1)17-1 =·717+·716+…+·7+-1 =7(715+…+), ∴上式能被7整除,∴5151-1能被7整除. (2)∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9 =8n+1+·8n+…+·82+·8+1-8n-9 =8n+1+·8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9 =8n+1+·8n+…+·82 =(8n-1+·8n-2+…+)·64, ∴32n+2-8n-9是64的倍数. 25 学科网（北京）股份有限公司 $$