3.3 二项式定理与杨辉三角（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

　　一般地,当n是正整数时,有(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+ bn.上述公式称为二项 式定理,等式右边的式子称为(a+b)n的展开式,它共有n+1项,其中 an-kbk是展开式中的第k+1项 (通常用Tk+1表示), 称为第k+1项的二项式系数,我们将Tk+1= an-kbk称为二项展开式的通项公 式. 注意:通项公式Tk+1= an-kbk中,要求n是正整数,k是满足0≤k≤n的自然数. 3.3 二项式定理与杨辉三角 知识点 1 二项式定理 知识 清单破 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 二项式系数的性质 1.对称性 　　在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 = . 2.单调性与最大值 　　二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为 奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且最大. 3.各二项式系数的和 (1) + +…+ =2n; (2) + + +…= + + +…=2n-1. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 杨辉三角的性质 1.每一行都是对称的,且两端的数都是1. 2.从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和,即 =  + . 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1. an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.(　    ) 2.(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的各二项式系数对应相同.(　    ) 3.二项展开式的各二项式系数的和为 + +…+ . (　    ) 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项. (　    )      an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r+1项. 提示 ✕ √ 　二项展开式的各二项式系数的和为 + + +…+ =2n. 提示 ✕ 　展开式共10项,其中奇数项系数为正,偶数项系数为负,所以系数最大的项为第5项. 提示 ✕ 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 　　求二项展开式中的特定项时,一般先写出二项展开式的通项公式,再利用函数或方程思 想求解. (1)对于常数项,令通项公式中字母的指数为0. (2)对于有理项,令通项公式中所有字母的指数都为整数.求解时必须合并通项公式中同一字 母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解. (3)对于整式项,其通项公式中合并同类项后同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有 理项一致. 讲解分析 疑难 1 求二项展开式中的特定项 疑难 情境破 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1) x-  n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为 (　    ) A.-270　    B.-240　    C.240　    D.270 (2) 的展开式中有理项共有 (　    ) A.4项　　B.5项　　C.6项　　D.7项 (3)(x- )n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为　　　    . C C 12x2 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) x-  n的展开式的通项公式为Tr+1= ·xn-r· -  r=(-2)r · .令r=4,则n- ×4=0, 解得n=6,∴展开式中的常数项为T5=(-2)4× =240.故选C. (2) 的展开式的通项公式为Tr+1= (x2)10-r =2r · (r=0,1,2,…,10),令20- 为 整数,可得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C. (3)(x- )n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4= xn-3·(- )3 =-2  xn-3.依题意得 = ,故n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x- )n=(x- )4,其展开式的 通项公式为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的展开式中含x2的项为T3=  x2(- )2=12x2. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 求三项展开式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开. (3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最 后合并同类项. 讲解分析 疑难 2 三项展开式问题 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例  的展开式中x2的系数为　　　    . 800 解析    解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5. (1+x)5的展开式的通项公式为Tr+1= xr, (2+x)5的展开式的通项公式为Tk+1= ·25-kxk, 所以 的展开式的通项公式为Tr+1,k+1=  25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N. 令r+k=2,可得 或 或  因此 的展开式中x2的系数为 × ×23+ × ×24+ × ×25=800. 解法二: = ,其展开式的通项公式为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5), (x2+3x)5-k的展开式的通项公式为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 所以Tk+1=  ·2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N). 令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 当k=3,r=2时,x2的系数为 × ×23×32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为 × ×24×30=80. 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因 式中取x2,其余4个因式中都取2;②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2.故x2的系数为 ×24 + ×32×23=80+720=800. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 　　赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根据所求,灵 活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=  ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=  . 讲解分析 疑难 3 赋值法求展开式中的系数和 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则 + + +…+  的值为 (　    ) A.28　　B.28-1　　C.27　　D.27-1 (2)若 (4x-1)9= +a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a0+ + +…+ =　　　    . B 5 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B,则A=a1+ a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知可得B-A=38. 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n, ∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8. 由二项式系数的性质可得 + + +…+ =2n- =28-1. (2)由题意知,b= ×(-1)9=-1, 令x= ,得3=2b+a0+ + +…+ , 则a0+ + +…+ =5. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 4 二项式系数的性质及应用 1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质(当n为奇数时,中间两项的二项式系数 最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大)求解. 2.求二项展开式中系数的最大(小)值的思路 (1)将系数看成关于n的函数,结合函数的单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值; (2)在系数均为正值的前提下,求它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据二项展开 式的通项公式列出不等式(组)即可. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)二项式系数最大的项是第11项,即T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第r+1项, 则  化简得  解得 ≤r≤ (r∈N), 所以r=8, 即T9= ×312×28×x12y8是系数绝对值最大的项. (3)解法一:由于系数为正的项为y的偶次方项,因此可设第2k-1项系数最大, 则  第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得k=5,即第9项系数最大,T9= ×312×28×x12y8. 解法二:由(2)知系数绝对值最大的项的系数为正,故此项的系数也最大,故系数最大的项为T9 = ×312×28×x12y8. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解决与杨辉三角有关问题的一般思路   讲解分析 疑难 5 杨辉三角问题 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右第14与第15个数 的比为2∶3,则n的值为(　    ) 第0行　　　　　　　　 1 第1行　　　　　　　 1     1 第2行　　　　　　  1    2    1 第3行　　　　　   1    3     3    1 第4行　　　　    1    4     6    4    1 第5行　　 　    1    5    10 10   5    1     …　　　　　　　　    … A.32　　B.33　　C.34　　D.35 C 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意知 ∶ =2∶3,所以3 =2 , 即 = ,得 = , 解得n=34. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 6 二项式定理的应用 1.进行近似计算 　　利用二项式定理进行近似计算的关键在于构造恰当的多项式(a+b)n(n∈N+,a∈Z,|b|<1), 并根据近似要求,对其展开式的项进行合理取舍,从而确定其近似值. 2.解决整除性、求余数问题 (1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式.一般先将被除数化为含有相 关除数的二项式,再展开,使其展开式中的某些项均含有除数这个因数,这时只考虑其中不含 有这个因数的项即可. (2)求余数时,要注意余数的取值范围,余数大于零且小于除数,利用二项式定理展开变形后,若 “剩余部分”是负数,要注意进行转换. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)设a∈Z,且0≤a≤14.若512 023+a能被13整除,则a= (　    ) A.0　    B.1 C.13　    D.14 (2)0.9986的近似值为　　　    ;(精确到0.001) (3)S= + +…+ 除以9的余数为　　　    . D 0.988 7 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵512 023+a=(52-1)2 023+a= ·522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52-1+a能被13整 除, 522 023- 522 022+ 522 021-…+ 52能被13整除, ∴-1+a也能被13整除. 又∵0≤a≤14,a∈Z,∴a=14.故选D. (2)0.9986=(1-0.002)6=1+ (-0.002)+ (-0.002)2+…+ (-0.002)6. ∵展开式中的第三项T3= (-0.002)2=15×0.0022=0.000 06<0.001,且第三项以后的项的绝对值 都远小于0.001, ∴从展开式的第三项起,以后的项都可以忽略不计, ∴0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988. (3)S= + +…+ =227-1=89-1=(9-1)9-1= 99- 98+ 97-…+ 9- -1=9( 98- 97+ 96-… + )-2, 故S除以9的余数为7. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 $$