3.1.3 组合与组合数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

知识 清单破 3.1. 3 组合与组合数 知识点 组合与组合数 1.组合的概念 　　一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个 对象的一个组合. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 2.组合数 (1)组合数的概念:从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中 取出m个对象的组合数,用符号 表示. 注意:①所谓并成一组是指与顺序无关,例如,组合a,b与组合b,a是同一组合,可以把一个组合 看成一个集合.②在符号 中,总是要求n和m都是正整数,且m≤n. (2)组合数公式: = = = . 　　特别地, =1, =n, =1. (3)组合数的性质: = , + = . 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.两个组合相同的充要条件是其中的对象完全相同.     (　    ) √ 2.若 = ,则x=m. (　    ) 提示 ✕ 3.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 个积.(　    ) 4. + = . (　    ) 　由 = 可以得到x=m或x+m=n. √ √ 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 　　与组合数有关的计算问题常用到组合数公式和组合数的性质,涉及具体数字的可以直接 用公式 = = 计算,涉及字母的可以用 = 计算,计算时应注 意利用组合数的性质 = , + = .另外要注意 中m,n的范围. 讲解分析 疑难 1 与组合数有关的计算 疑难 情境破 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例　(1)解方程:3 =5 ; (2)解不等式: > . 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原方程可化为3· =5· , 整理,得 = ,即(x-3)(x-6)=40, 解得x=11或x=-2. 易知x≥7,则x=11. (2)由 > 得  即 即  解得6≤n<10. 因为n∈N+, 所以原不等式的解集为{6,7,8,9}. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 　　分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要对象个数相同,就是不可区分的, 而后者即使两组对象个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的. 讲解分析 疑难 2 分组与分配问题 1.分组问题的求解策略 (1)非均匀不编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,每组对象数目均不相等,依次记为m1,m 2,…,mm,不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N= · · ·…· . (2)均匀不编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,其中r组对象个数相等,不管是否分尽,其 分法种数为 (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除以  . 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 (3)非均匀编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,每组对象数目均不相等,且考虑各组间的 顺序,其分法种数为N· (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). (4)均匀编号分组:将n个不同对象分成m(m≤n)组,其中r组对象个数相等且考虑各组间的顺 序,其分法种数为 · (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). 2.相同对象分配问题的处理策略——隔板法 将n个相同的物品分给m(m≤n)个不同的对象,可看作将n个相同的元素排成一行,这n个元素 之间就出现了(n-1)个空隙,我们将(m-1)个“隔板”插入到这(n-1)个空隙中,就把n个元素隔成 了有序的m份,这种借助虚拟“隔板”分配元素的方法称为隔板法.由此可知,将n个相同的物 品分给m个不同的对象,共有 种方法. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数不小 于盒子的编号数,则不同的方法共有　　　    种. 15 解析    在编号分别为2,3的两个盒子中依次放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变 为求把7个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个小球的不 同方法的种数,由隔板法可知共有 =15种不同的方法. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　有12本不同的书,将其分成4堆. (1)若每堆3本,有几种分法? (2)若4堆依次为1本、3本、4本、4本,有几种分法? (3)若4堆依次为1本、2本、3本、6本,有几种分法?(只要求列出算式) 解析    (1)有 种分法. (2)有 种分法. (3)有    种分法. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 　　解决排列与组合问题要遵循两个原则:①按对象(或位置)的性质进行分类;②按事情发生 的过程进行分步.具体地说,解决排列与组合问题常以对象(或位置)为主体,即先满足特殊对 象(或位置),再考虑其他对象(或位置). 讲解分析 疑难 3 排列与组合的综合应用 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例　如图,一个正方形花圃被分成5部分. A B C D E (1)若给这5部分各种一种颜色的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿 4种颜色的花可选,问有多少种不同的种植方法? (2)若在这5部分中放入7个不同的盆栽,要求每部分都有盆栽,问有多少种不同的放法? 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)先给A部分种植,有4种不同的种植方法;再给B部分种植,有3种不同的种植方法;然 后给C部分种植,分两类: ①若C与B相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2×2=48种不 同的种植方法; ②若C与B不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法, 共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法. 综上,共有48+48=96种不同的种植方法. (2)将7个盆栽分成5组,每组至少有1个盆栽,有2种分法: ①分成2,2,1,1,1的5组,有 种分法; ②分成3,1,1,1,1的5组,有 种分法. 将分好的5组全排列,分别对应5部分,则一共有 × =16 800种不同的放法. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 $$