3.1.1 基本计数原理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

3.1 排列与组合 知识点 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识 清单破 3.1.1 基本计数原理 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 任务 完成一件事 步骤 完成这件事有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法 完成这件事需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法 结果 完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法 完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数,最终的目的都是完成某件事 不同点 1.完成一件事有n类办法,这n类办法之间是彼此独立的. 2.每一类办法中的每一种方法都能独立完成这件事. 3.把各类办法中的方法数相加就是完成这件事的所有方法数 1.完成一件事需要分成n个步骤,每个步骤又有若干种方法. 2.只有每个步骤都完成了才算完成这件事,每个步骤缺一不可. 3.把完成每个步骤的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.在分类加法计数原理中,每类不同方案中的方法都能完成这件事. (　    ) 2.在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事. (　    ) 3.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43 种. (　    ) √ ✕ ✕ 提示 　 因为每项比赛的冠军都有3种可能的情况,所以由分步乘法计数原理可知,共有34种不 同的夺冠情况. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 4.有三只口袋装有小球,一只装有5个大小不同的白色小球,一只装有6个大小不同的黑色小 球,一只装有7个大小不同的红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,则共有36种不同的 取法. (　    ) ✕ 　分为三类:一类是取白球、黑球,有5×6=30种取法;一类是取白球、红球,有5×7=35种取 法;一类是取黑球、红球,有6×7=42种取法.依据分类加法计数原理,共有30+35+42=107种不 同的取法. 提示 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 讲解分析 疑难 1 计数原理的应用 1.两个计数原理在解决计数问题中的应用   第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 2.类中有步,步中有类   从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法.   从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. “类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”则缺一不可. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 3.两个计数原理的应用原则及方法 (1)当涉及元素数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及元素数目很大时,一般有如下两种方法: ①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理求解. ②间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后减去所有不符合条件的方法数即可. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字来表示, 求该方程所表示的不同直线的条数. 思路点拨 以A,B中是否有数字0为标准进行分类计数,或利用间接法求解. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:分两类. 第一类:当A,B中有一个为0时,方程表示直线x=0或y=0,共2条不同的直线. 第二类:当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需要分两步完成. 第一步:确定A的值,有4种不同的取法; 第二步:确定B的值,有3种不同的取法. 所以该方程所表示的不同直线的条数为2+4×3=14. 解法二(间接法):分两步. 第一步:确定A的值,有5种不同的取法; 第二步:确定B的值,有4种不同的取法. 根据分步乘法计数原理,可以确定直线的条数为5×4=20. 在这20条直线中,当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一条直线y=0;当B=0,A=1,2,3,5时,表示同一条直线 x=0,即有6条直线是重复计数的. 故该方程所表示的不同直线的条数为20-6=14. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 利用计数原理解决涂色(种植)问题的方法 (1)以区域为主分步计数,应用分步乘法计数原理进行分析; (2)以颜色(种植的作物)为主分类讨论,再在每一类方法数的计算中应用分步乘法计数原理, 最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色(种植)方法数求和,即得到最终的涂色(种植)方 法数. 讲解分析 疑难 2 利用计数原理解决涂色(种植)问题 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 典例 用红、黄、绿、黑四种颜色给图中的五个区域涂色,若要求任意相邻的两个区域的颜 色都不相同,有多少种不同的涂色方法?   第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:①当B与D同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×2=48(种); ②当B与D不同色时,不同的涂色方法有4×3×2×1×1=24(种). 故共有48+24=72种不同的涂色方法. 解法二:按涂色时所用颜色种数分类. 第一类,用4种颜色,此时B,D同色或A,E同色,且两者仅居其一,则共有2×4×3×2×1×1=48种不同 的涂色方法; 第二类,用3种颜色,此时B,D同色,且A,E同色,则共有4×3×2×1×1=24种不同的涂色方法. 依据分类加法计数原理,共有48+24=72种不同的涂色方法. 第三章　排列、组合与二项式定理 第1讲　描述运动的基本概念 $$