4.3.2 独立性检验（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教B版2019）

1.2×2列联表 (1)定义:随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式. 知识 清单破 4.3.2 独立性检验 知识点 独立性检验 A   总计 B a b a+b   c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 　　因为这个表格中,核心的数据是中间4个格子,所以这样的表格通常称为2×2列联表. (2)χ2计算公式:χ2= ,其中n=a+b+c+d. 知识拓展　列联表的统计意义 (1)事件A发生的概率可估计为P(A)= ;(2)事件B发生的概率可估计为P(B)= ;(3)事件 AB发生的概率可估计为P(AB)= . 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 2.独立性检验 任意给定一个α(称为显著性水平,通常取为0.05,0.01等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k (称为显著性水平α对应的分位数).若χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过α的前提下,可以 认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立,就称不能得 到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展     (1)χ2<k的统计意义 A与B独立时,也称为A与B无关.当χ2<k成立时,一般不直接说A与B无关.也就是说,独立性检验 通常得到的结果,或者是有1-α的把握认为A与B有关,或者没有1-α的把握认为A与B有关. (2)常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示. α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.     (　    ) 2.分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念.(　    ) 3.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2=4.013,那么有95%的把握认为两个变量之间有关系.  (　    ) 4.在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强. (　    ) ✕ √ √ ✕ 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 应用独立性检验解决实际问题的一般步骤 (1)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值k比较; (2)根据检验规则得出推断结论; (3)在两个分类变量X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影 响规律. 讲解分析 疑难 独立性检验的应用 疑难 情境破 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 典例　随着智能手机的普及,手机计步软件迅速流行开来,这类软件能自动记载每个人每日健 步走的步数,从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况, 从本市市民中随机抽取了2 000名(其中不超过40岁的市民恰好有1 000名),利用手机计步软 件统计了他们某天健步走的步数(单位:千),并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13), [13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组,将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布 直方图,将40岁以上的市民的样本数据整理为频数分布表,并利用该样本的频率分布估计总 体的概率分布. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 分组(单位:千) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) 频数 10 20 20 30 400 分组(单位:千) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21] 频数 200 200 100 20 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 (1)现规定,每日健步走的步数不低于13 000的为“健步达人”,填写列联表,并分析能否在犯 错误的概率不超过0.1%的前提下,认为是不是“健步达人”与年龄有关; 健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 不超过40岁的市民 总计 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 (2)(i)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民每日健步走的步数(单位:千)的平 均数和中位数(每组数据取区间的中点值代替); (ii)由频率分布直方图可以认为,不超过40岁的市民每日健步走的步数Z(单位:千)近似地服从 正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ的值已求出约为3.64.现从该市不超过40岁的市 民中随机抽取5人,记其中每日健步走的步数Z(单位:千)位于[4.88,15.8]的人数为X,求X的数学 期望. 参考公式:χ2= ,其中n=a+b+c+d. 参考数据: α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)列联表为 健步达人 非健步达人 总计 40岁以上的市民 520 480 1 000 不超过40岁的市民 400 600 1 000 总计 920 1 080 2 000 计算可得χ2= ≈28.986>10.828, 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为是不是“健步达人”与年龄有关. (2)(i)样本平均数为4×0.04+6×0.06+8×0.10+10×0.10+12×0.30+14×0.20+16×0.10+18×0.08+20 ×0.02=12.16. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 由前4组的频率之和为0.04+0.06+0.10+0.10=0.30,前5组的频率之和为0.30+0.30=0.6,知样本 中位数落在第5组, 设样本中位数为t,则(t-11)×0.15=0.5-0.3, 所以t= . 故可以估计该市不超过40岁的市民每日健步走的步数(单位:千)的平均数为12.16,中位数为  . (ii)由题意得[μ-2σ,μ+σ]=[4.88,15.8], 而P(μ-2σ≤Z≤μ+σ)= P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)+ P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.818 5, 所以X~B(5,0.818 5), 所以E(X)=5×0.818 5=4.092 5. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思     独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定 一个结论,在分析问题时一定要注意这一点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统 计计算的结果给出错误的解释. 第四章　概率与统计 第1讲　描述运动的基本概念 $$