4.4 数学归纳法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.4*　数学归纳法 基础过关练 题组一　用数学归纳法证明等式 1.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是(　　) A.2k+1　　　　B. C.　　　　D.2(2k+1) 2.用数学归纳法证明1-+…++…+(n∈N*)时,第一步应验证的等式是　　　　　　.  3.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*). 题组二　用数学归纳法证明不等式 4.用数学归纳法证明不等式:+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需要增加的项为(　　) A. C. 5.用数学归纳法证明:f(n)=1++…+(n∈N*)的过程中,从n=k到n=k+1,f(k+1)比f(k)共增加了(　　) A.1项　　　　B.(2k-1)项　　　　 C.2k+1项　　　　D.2k项 6.用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立,则k的最小值为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明:(n∈N*). 题组三　用数学归纳法解决整除问题 8.用数学归纳法证明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除时,从n=k(k∈N*)到n=k+1添加的项数为(　　) A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.3 9.用数学归纳法证明:n3+5n(n∈N*)能被6整除. 题组四　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 10.观察下列式子:1+,……,则可归纳出1++…+(n∈N*)小于(　　) A. 11.正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N*,则a2 023的值是(　　) A. C. 12.已知数列{an}满足a1=-(n≥2,n∈N*). (1)求a2,a3; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法给出证明. 13.(2024在数列{an}中,a1=. (1)求出a2,a3,猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想; (2)令bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1). 故选D. 2.答案　1- 解析　由于n∈N*,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故答案为1-. 3.证明　当n=2时,左边=1-,右边=, 左边=右边,所以当n=2时,等式成立. 假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立, 即, 那么当n=k+1时,,即当n=k+1时,等式成立. 故对任意n≥2,n∈N*等式恒成立. 4.D　当n=k时,不等式的左边为+…+, 当n=k+1时,不等式的左边为+…+, 故从n=k到n=k+1,左边增加的项为.故选D. 5.D　因为f(n)=1++…+,所以f(k)=1++…+,共2k项, 则f(k+1)=1++…++…+,共2k+1项,所以f(k+1)比f(k)共增加了2k+1-2k=2k项. 故选D. 6.C　当n=1时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立; 当n=2时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立; 当n=3时,左边=,右边=, 此时左边>右边,不等式成立; 易得n≥3时,不等式恒成立, ∴用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立时,k的最小值为3. 故选C. 7.解析　(1)当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,上式也成立,所以an=2n-1. (2)证明:当n=1时,,所以成立; 假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即, 则当n=k+1时, =,因为>2k+3, 所以, 所以, 即当n=k+1时,不等式也成立. 综上所述,(n∈N*). 8.C　设f(n)=1+2+22+…+25n-1, 则f(k+1)-f(k)=1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4, 所以从n=k到n=k+1添加的项数为5.故选C. 9.证明　①当n=1时,13+5=6,显然能被6整除; ②假设n=k(k∈N*)时,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除, 则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6, 因为k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除, 又k3+5k能被6整除,所以当n=k+1时,n3+5n能被6整除. 由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除. 10.C　由已知式子可知所猜测的分式的分母为n+1,分子为分母的2倍再减1,即2n+1, ∴可归纳得1++…+.故选C. 11.C　∵a1+a2+a3+…+an=, ∴当n=1时,a1=, 又{an}为正项数列,∴a1=1, 当n=2时,1+a2=-1, 同理可得a3=,……, 猜想an=. 证明:当n=1时,显然成立; 假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=, 则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1=+ak+1, ∴⇒ak+1=. 故当n=k+1时,猜想也成立. 故an=,∴a2 023=. 故选C. 12.解析　(1)a2=-. (2)猜想数列{an}的通项公式为an=-,证明如下: 当n=1时,a1=-,所以an=-成立; 假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=-, 则当n=k+1时,ak+1=- ,∴n=k+1时,猜想也成立. 综上,an=-(n∈N*). 13.解析　(1)∵a1=, ∴a2=, 因此可猜想:an=(n∈N*). 证明:当n=1时,a1=,猜想成立, 假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=, 则当n=k+1时,ak+1=, 即当n=k+1时,猜想也成立. 综上所述,对任意n∈N*,an=. (2)bn==(n+5)3n-1, 则Tn=6×30+7×31+8×32+…+(n+5)×3n-1①, 3Tn=6×31+7×32+…+(n+4)×3n-1+(n+5)×3n②, ①-②得-2Tn=5+1+31+32+…+3n-1-(n+5)×3n =. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$