4.4 数学归纳法 同步练习2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4* 数学归纳法 同步练习2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 姓名： 班级： 学号： 基础过关练 一、单项选择题 1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了 （　　） A．1项 B．k项 C．2k-1项 D．2k项 2．已知f（n）＝＋＋＋＋…＋，则 （　　） A.f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝＋ B．f（n）中共有（n＋1）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ C．f（n）中共有（n2－n＋2）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ D．f（n）中共有（n2－n＋1）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ 3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为 （　　） A．5（5k－2k）＋3×2k B．（5k－2k）＋4×5k－2k C．（5－2）（5k－2k） D．2（5k－2k）－3×5k 4．设n是正整数，f（n）＝1＋＋＋…＋，经计算可得，f（2）＝，f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，f（32）>.观察上述结果，可得出的一般结论是 （　　） A．f（2n）> B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．f（2n）> 5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为 （　　） A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 二、多项选择题 6．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N*）时命题成立，则可得当n＝k＋1时命题也成立，若已知当n＝5时命题不成立，则下列说法正确的是 （　　） A．当n＝4时，命题不成立 B．当n＝1时，命题可能成立 C．当n＝6时，命题不成立 D．当n＝6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n＝6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立 7．已知命题1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1（n∈N*）及其证明： （1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． （2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以n＝k＋1时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立．则 （　　） A．命题正确 B．命题不正确 C．推理都正确 D．推理不正确 三、填空题 8．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>（n∈N*）成立，其初始值至少应取________． 9．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋时，第一步应验证的等式是________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的等式是________________． 四、解答题 10．已知数列{an}中，a1＝0且an＋1＝. （1）求数列{an}的第2，3，4项； （2）根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 11．是否存在正整数m，使得对任意正整数n，f（n）＝（2n＋7）·3n＋m都能被36整除？若存在，求出m的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由． 能力提升练 12．已知经过同一点的n（n∈N*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f（n）个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为 （　　） A．2k B．2k＋2 C． D．k2＋k＋2 13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝________，归纳猜想an＝________． 14．观察下列等式： 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， … 按照以上式子的规律： （1）写出第5个等式，并猜想第n（n∈N*）个等式； （2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n（n∈N*）个等式成立． 4.4* 数学归纳法 同步练习2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 姓名： 班级： 学号： 基础过关练 一、单项选择题 1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了 （　　） A．1项 B．k项 C．2k-1项 D．2k项 解析：当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边每一项分母的变化规律是每一项比前一项多1，故增加了2k项．故选D. 答案：D　 2．已知f（n）＝＋＋＋＋…＋，则 （　　） A.f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝＋ B．f（n）中共有（n＋1）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ C．f（n）中共有（n2－n＋2）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ D．f（n）中共有（n2－n＋1）项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋ 解析：f（n）中共有n2－（n－1）＋1＝n2－n＋2项，当n＝2时，f（2）＝1＋＋＋.故选C. 答案：C　 3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为 （　　） A．5（5k－2k）＋3×2k B．（5k－2k）＋4×5k－2k C．（5－2）（5k－2k） D．2（5k－2k）－3×5k 解析：假设n＝k（k∈N*）时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k+1－2k+1＝5×5k－2×2k＝5（5k－2k）＋5×2k－2×2k＝5（5k－2k）＋3×2k.故选A. 答案：A　 4．设n是正整数，f（n）＝1＋＋＋…＋，经计算可得，f（2）＝，f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，f（32）>.观察上述结果，可得出的一般结论是 （　　） A．f（2n）> B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．f（2n）> 解析：已知f（4）>2，f（8）>，f（16）>3，f（32）>，即f（22）>，f（23）>，f（24）>，f（25）>，依此类推，可得f（2n）>（n>1，n为正整数）.因为f（2）＝，所以f（2n）≥（n为正整数）.故选C. 答案：C　 5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为 （　　） A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋（1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3）＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝1＋＝个区域．故选C. 答案：C　 二、多项选择题 6．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N*）时命题成立，则可得当n＝k＋1时命题也成立，若已知当n＝5时命题不成立，则下列说法正确的是 （　　） A．当n＝4时，命题不成立 B．当n＝1时，命题可能成立 C．当n＝6时，命题不成立 D．当n＝6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n＝6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立 解析：如果当n＝4时命题成立，则当n＝5时命题也成立，与题设矛盾，即当n＝4时，命题不成立，A正确；如果当n＝1时命题成立，则当n＝2时命题成立，继续推导可得当n＝5时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当n＝6时，该命题可能成立也可能不成立，如果当n＝6时命题成立，则当n＝7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都成立，C不正确，D正确，故选AD. 答案：AD　 7．已知命题1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1（n∈N*）及其证明： （1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． （2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以n＝k＋1时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立．则 （　　） A．命题正确 B．命题不正确 C．推理都正确 D．推理不正确 解析：推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确．故选AD. 答案：AD　 三、填空题 8．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>（n∈N*）成立，其初始值至少应取________． 解析：据已知可转化为>，整理得2n>128，解得n>7，故原不等式的初始值为n＝8. 答案：8 9．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋时，第一步应验证的等式是________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的等式是________________． 解析：当n＝1时，应当验证的第一个式子是1－＝，当n＝k时，等式的左边为1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，等式的左边为1－＋－＋…＋－＋－，所以从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的式子是－. 答案：1－＝　－ 四、解答题 10．已知数列{an}中，a1＝0且an＋1＝. （1）求数列{an}的第2，3，4项； （2）根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． [解]　（1）由a1＝0且an＋1＝，得 a2＝＝，a3＝＝＝， a4＝＝＝. （2）由（1）的计算结果可猜想an＝，用数学归纳法证明： ①当n＝1时，a1＝＝0，等式成立； ②假设当n＝k时等式成立，即有ak＝， 则当n＝k＋1时，有ak＋1＝＝＝， 即当n＝k＋1时，等式成立． 由①②可知对一切n∈N*，都有an＝， 故猜想an＝成立． 11．是否存在正整数m，使得对任意正整数n，f（n）＝（2n＋7）·3n＋m都能被36整除？若存在，求出m的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由． [解]　存在．由f（n）＝（2n＋7）·3n＋m， 得f（1）＝27＋m，f（2）＝99＋m，f（3）＝13×27＋m，f（4）＝15×81＋m. 要使得f（n）＝（2n＋7）·3n＋m对n＝1，2，3，4都能被36整除，则最小的正整数m的值为9， 由此猜想最小的正整数m的值为9， 即f（n）＝（2n＋7）·3n＋9. 下面用数学归纳法证明： （1）当n＝1时，显然成立． （2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，f（k）能被36整除， 即f（k）＝（2k＋7）·3k＋9能被36整除． 则当n＝k＋1时，[2（k＋1）＋7]·3k+1＋9＝3[（2k＋7）·3k＋9]＋18（3k-1－1）， 由于3k-1－1是2的倍数， 故18（3k-1－1）能被36整除． 所以当n＝k＋1时，f（k＋1）也能被36整除． 由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）＝（2n＋7）·3n＋9能被36整除，m的最小值为9. 能力提升练 12．已知经过同一点的n（n∈N*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f（n）个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为 （　　） A．2k B．2k＋2 C． D．k2＋k＋2 解析：当n＝3时，这三个平面将空间分成了8部分，当n＝k时，平面将空间分成f（k）个部分，则当再添加1个面时，与其他k个面共有k条交线，这k条交线过同一个点，将该平面分成2k个部分，每一部分将所在的空间一分为二，故f（k＋1）＝f（k）＋2k，即增加的空间个数为2k.故选A. 答案：A　 13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝________，归纳猜想an＝________． 解析：因为an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），且a1＝1，所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×（2k－1）＋1＝2k+1－1.故n＝k＋1时，猜想也成立．综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1. 答案：31　2n－1 14．观察下列等式： 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， … 按照以上式子的规律： （1）写出第5个等式，并猜想第n（n∈N*）个等式； （2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n（n∈N*）个等式成立． [解]　（1）第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， 第n个等式为n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2，n∈N*. （2）证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝（2－1）2＝1，所以等式成立． ②假设n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＝（2k－1）2（k∈N*）成立， 那么，当n＝k＋1时，（k＋1）＋（k＋2）＋（k＋3）＋…＋（3k＋1）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1）－k＝（2k－1）2＋8k＝[2（k＋1）－1]2， 即n＝k＋1时，等式也成立． 根据①②可知对任何n∈N*，等式都成立． 学科网（北京）股份有限公司 $