4.2.1 等差数列的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 基础过关练 题组一　等差数列的概念及其应用 1.下列数列中,不是等差数列的是(　　) A.2,5,8,11　　　　 B.1.1,1.01,1.001,1.000 1 C.a,a,a,a　　　　 D.lg 2,lg 20,lg 200,lg 2 000 2.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1<a2”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若数列{an}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是(　　) A.{|an|}　　　　B.{an+1-an} C.{pan+q}(p,q为常数)　　　　D.{2an+n} 4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.  题组二　等差中项 5.设a,m是实数,则“m=5”是“m为a和10-a的等差中项”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若-2的等差中项,则d的值为(　　) A.0　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2 7.设a>0,b>0,若ln是ln 3a与ln 9b的等差中项,则的最小值为(　　) A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.12 题组三　等差数列的通项公式及其应用 8.已知{an}是等差数列,a6=8,a8=6,则a14=(　　) A.-14　　　　B.-6　　　　C.0　　　　D.14 9.已知数列{an}满足loan+1(n∈N*),若a5=3,则a1=(　　) A.48　　　　B.24　　　　C.16　　　　D.12 10.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”,则在1,2,3,…,2 024这2 024个数中,“幸运数”的个数是(　　) A.251　　　　B.252　　　　C.253　　　　D.254 11.某同学研究下列数表时,发现其特点是每行每列都成等差数列,在表中,数41出现的次数为(　　) 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … … … … … … … A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11 12.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则a100=(　　) 　 A.　　　　B.1　　　　C.10　　　　D.100 13.已知等差数列{an}单调递增,且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是(　　) A.(-∞,3)　　　　B.(3,6) C.(3,+∞)　　　　D.(6,+∞) 14.在等差数列{an}中,若a3+a9=26,则a3+3a7=　.  15.已知函数f(x)满足:对任意x∈R,都有2f(x)=f(x+1)+f(x-1),若f(1)=,f(3)=-3,则f(2 023)=　　　　.  16.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=. (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组四　等差数列的性质及其应用 17.在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为(　　) A.21　　　　B.24　　　　C.27　　　　D.30 18.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则a2+a8=(　　) A.16　　　　B.17　　　　C.18　　　　D.19 19.在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=(　　) A.24　　　　B.48　　　　C.20　　　　D.16 20.已知数列{an}为等差数列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=6,则a8=(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 21.已知{an}是等差数列. (1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13; (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求{an}的公差. 能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为(　　) A.166　　　　B.168　　　　C.169　　　　D.170 2.在等差数列{an}中,p,q∈N*,且p≠q,若ap=q2,aq=p2,则ap+q=(　　) A.-(p+q)　　　　B.-(p+q)　　　　C.-pq　　　　D.-pq 3.如图1,一座斜拉索大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,如图2,已知拉索上端相邻两个针Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个针Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)满足AiAi+1=18 m,最短拉索的针P1,A1满足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为(　　) A.±　　　　C.± 4.已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),则的最小值为(　　) A.　　　　C.16　　　　D.18 5.已知数列{an}满足(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3(n≥2,n∈N*),a1=1,则an=(　　) A.2n-2　　　　B.2n2-n C.2n-1　　　　D.(2n-1)2 6.在数列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),则an=(　　) A.- 7.已知数列{an}满足a1=,且(n≥2),设bn=. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 题组二　等差数列的性质及其应用 8.已知{an}是各项均为正数的等差数列,且a6+2a7+a10=20,则a7·a8的最大值为(　　) A.10　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.50 9.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若∀a,b∈R,都有f[f(a)+f(b)],则f(2 023)=(　　) A.5　　　　B.9　　　　C.4 023　　　　D.4 049 10.已知等差数列{an}为递增数列,若=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d为　　　　.  题组三　等差数列的综合应用 11.《九章算术》是我国古代的数学名著,第六章《均输》中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,问五人各得多少钱?”(注:“均输”即按比例分配,此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列;“钱”是古代的一种重量单位)关于这个问题,下列说法不正确的是(　　) A.戊所得钱数是甲所得钱数的一半 B.乙比丁多得钱 C.甲、丙所得钱数的和是乙所得钱数的2倍 D.丁、戊所得钱数的和比甲所得钱数多钱 12.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”,现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141 13.若数列{cn}满足cn+1=,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且a1>0,a1≠1,则(　　) A.{lg an}是等差数列B.{lg an+1-lg an}是等差数列 C.{anan+1}是“平方递推数列”D.{an+1+an}是“平方递推数列” 14.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,则(　　) A.对任意的d,均存在以a1,a2,a3为三边长的三角形 B.对任意的d,均不存在以a1,a2,a3为三边长的三角形 C.对任意的d,均存在以a2,a3,a4为三边长的三角形 D.对任意的d,均不存在以a2,a3,a4为三边长的三角形 15.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},以下说法正确的是(　　) A.an=8n-6 B.当k=3时,bn=2n C.当k=3时,b29不是数列{an}中的项 D.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为7 16.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2,n∈N*),a1=,则下列结论正确的是(　　) A.Sn= C.{an}为递增数列　　　　D.为递增数列 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　由等差数列的定义,可知A中数列是等差数列,B中数列不是等差数列;C中数列是常数列,是等差数列;D中数列可表示为lg 2,1+lg 2,2+lg 2,3+lg 2,是等差数列.故选B. 2.A　设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1; 反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增. 故“{an}单调递增”是“a2>a1”的充要条件.故选A. 3.A　设等差数列{an}的公差为d. 对于A,若an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2, 此时数列{|an|}不是等差数列,所以A符合题意; 对于B,易得an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列, 所以数列{an+1-an}一定是等差数列,所以B不符合题意; 对于C,数列{pan+q}中,可得(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd(常数), 所以数列{pan+q}一定是等差数列,所以C不符合题意; 对于D,数列{2an+n}中,可得(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1, 所以数列{2an+n}一定是等差数列,所以D不符合题意.故选A. 4.答案　0 解析　∵{an}是等差数列,∴an+1-an为常数, 即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1为常数, ∴2a=0,∴a=0. 5.C　m为a和10-a的等差中项⇔m==5, 因此,“m=5”是“m为a和10-a的等差中项”的充要条件.故选C. 6.C　由-2的等差中项,得2-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,而d≥0,所以d=1.故选C. 7.B　因为ln是ln 3a与ln 9b的等差中项, 所以2ln=ln 3a+ln 9b, 即ln 3=ln(3a×9b)=ln 3a+2b=(a+2b)ln 3, ∴a+2b=1,又a>0,b>0, ∴≥4+2=8,当且仅当且a+2b=1,即a=时等号成立,故的最小值为8.故选B. 8.C　设等差数列{an}的公差为d,则d==-1, 所以a14=a8+6d=6-6=0.故选C. 9.A　由loan+1得loan=1, 所以数列{loan}是公差为1的等差数列, 所以lo3, 所以lo48, 所以a1=48.故选A. 10.C　设两个连续奇数为2n-1,2n+1,n∈N*, 则(2n+1)2-(2n-1)2=8n,故“幸运数”是能被8整除的数, 在1,2,3,…,2 024这2 024个数中,“幸运数”是首项为8,公差为8的等差数列,末项为2 024, 故“幸运数”的个数为+1=253.故选C. 11.A　设第i行第j列的数为aij,则{a1j}是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以a1j=2+(j-1)×1=1+j,所以{aij}是以j+1为首项,j为公差的等差数列,所以aij=j+1+(i-1)j=ij+1, 令ij+1=41,得ij=40=1×40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2=40×1,所以41共出现了8次.故选A. 12.C　由已知得OAn=,即O=1, 因为OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},所以=1(n≥2), 则数列{}是公差为1的等差数列,且首项=1, 所以=1+(n-1)×1=n,即an=, 所以a100=10.故选C. 13.C　设等差数列{an}的公差为d, 因为数列{an}单调递增,所以d>0, 所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6, 则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C. 14.答案　52 解析　设等差数列{an}的公差为d, 则a3+a9=a1+2d+a1+8d=2(a1+5d)=26, 得a1+5d=13, 所以a3+3a7=a1+2d+3(a1+6d)=4a1+20d=4(a1+5d)=52. 15.答案　- 解析　由2f(x)=f(x+1)+f(x-1), 得2f(x+1)=f(x+2)+f(x), 当x取正整数n时,令an=f(n),则2an+1=an+2+an, 所以数列{an}是以a1=f(1)=为首项,为公差的等差数列, 故a2 023=+(2 023-1)×, 即f(2 023)=-. 16.解析　(1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-,则, 所以=1, 又S1=a1=,所以=2, 所以数列是首项为2,公差为1的等差数列. (2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=, 因为a1=不满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 17.C　设插入的3个数依次为a1,a2,a3,则3,a1,a2,a3,15成等差数列, 因此2a2=3+15,解得a2=9, 所以插入的3个数之和为a1+a2+a3=3a2=27. 故选C. 18.C　由题意得a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=45,得a5=9,所以a2+a8=2a5=18.故选C. 19.A　由题意得a1+2a8+a15=4a8=96,所以a8=24, 所以2a9-a10=a8=24.故选A. 20.D　由等差数列的性质可知, 设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2=1, 所以a8=a2+6d=1+6=7.故选D. 21.解析　解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12. (2)设等差数列{an}的公差为d.由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17, 由 由d=得d=3或d=-3. 解法二:设等差数列{an}的公差为d. (1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12. (2)由题意得 解得∴d=3或d=-3. 能力提升练 1.C　依题意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=(k-1)+, 因此k+1是3的正整数倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1, 设数列{an}、{bn}的公共项构成数列{cn}, 则cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7, 由12n-7≤2 023,得n≤169, 所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169.故选C. 2.C　设等差数列{an}的公差为d,则ap=a1+(p-1)d=q2,aq=a1+(q-1)d=p2, 两式相减并整理得d=-(p+q),则ap+q=ap+qd=q2-q(p+q)=-pq,故选C. 3.B　由题意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的长度(单位:m)分别构成公差为4和18的等差数列, 所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m), 所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故,即最长拉索所在直线的斜率为±.故选B. 4.C　易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*), ∴=1, ∴数列=10为首项,1为公差的等差数列, ∴, ∴+10≥2+10=16,当且仅当n=,即n=3时取等号,故的最小值为16.故选C. 5.B　因为(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3=(2n-1)(2n-3),所以=1, 又=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列, 故=1+n-1=n,即an=n(2n-1)=2n2-n. 故选B. 6.A　由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0, 所以an+1=(n≥2),两边取倒数得+1,所以数列,公差为1的等差数列,所以, 所以an=. 故选A. 方法技巧　若{an}的递推关系是以an+1=(c≠0,ad-bc≠0)的形式给出的,则可用不动点的方法求{an}的通项公式.令x=,即cx2+(d-a)x-b=0,若有两个相等的根x0,则为等差数列. 7.解析　(1)证明:由,整理得=4,即bn-bn-1=4(n≥2), 又b1==5, ∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列. (2)由(1)知bn=5+4×(n-1)=4n+1, ∴an=. 又a1=. 令an=,解得n=11,即a1a2=a11, ∴a1a2是数列{an}中的第11项. 8.C　∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20, ∴a7+a8=10, 由已知得a7>0,a8>0, ∴a7·a8≤=25,当且仅当a7=a8=5时等号成立,故a7·a8的最大值为25.故选C. 9.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N*,由f [f(a)+f(b)]可得f , 即2f(n)=f(n-1)+f(n+1), 所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5,f(3)=9, 所以公差为 =2,所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故选D. 10.答案　1 解析　由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10. 又a1+a10=a5+a6=11,a1<a10,所以a1=1,a10=10,所以d==1. 11.D　设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 依题意得 解得因此甲得钱,乙得钱,丙得1钱,丁得钱,戊得钱. 戊所得钱数是甲所得钱数的一半,A中说法正确; 乙比丁多得钱,B中说法正确; 甲、丙所得钱数的和是乙所得钱数的=2倍,C中说法正确; 丁、戊所得钱数的和比甲所得钱数多钱,D中说法不正确. 故选D. 12.D　设该高阶等差数列的第8项为x, 根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图: 由图可得故选D. 13.C　对于A、B,因为{an}是“平方递推数列”, 所以an+1=. 又a1>0,所以an>0,则lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an, 所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差数列,所以A、B不正确. 对于C,因为an+2an+1==(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方递推数列”,所以C正确. 对于D,因为an+2+an+1=≠(an+1+an)2, 所以{an+1+an}不是“平方递推数列”,所以D不正确. 故选C. 14.C　对于A,B,∵a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2,∵a1+a2-a3=a1-d不一定大于0,∴不一定存在以a1,a2,a3为三边长的三角形,故A,B不正确; 对于C,D,∵a3+a4>a2,a2+a4-a3=a3>0,a2+a3-a4=a1>0,∴对任意的d,均存在以a2,a3,a4为三边长的三角形,故C正确,D不正确.故选C. 15.ABD　对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正确; 对于B,数列{bn}的首项为2,公差为=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正确; 对于C,由B选项知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是数列{an}的第8项,C错误; 对于D,由已知得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……, 故等差数列{an}中的项在等差数列{bn}中对应项的下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列, 于是an=b1+(n-1)(k+1),又b9是数列{an}中的项,∴1+(n-1)(k+1)=9,当k=7时,n=2,满足题意,D正确.故选ABD. 16.AD　由an=Sn-Sn-1,an+4Sn-1Sn=0,n≥2,n∈N*, 得Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn,n≥2,n∈N*, 又Sn≠0,∴=4(n≥2,n∈N*). ∵a1=是以4为首项,4为公差的等差数列,∴=4+4(n-1)=4n,n∈N*, ∴数列为递增数列,Sn=,故A、D正确. 当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=, 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴an=故B、C错误.故选AD. 解题模板　解决项、和共存的递推关系问题,要么将和化为项,要么将项化为和,具体视递推公式的形式而定,如本题中将an+4Sn-1Sn=0化为Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn(n≥2),整理得到是一个等差数列,然后利用等差数列的知识解题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$