4.1 数列的概念（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章　数列 4.1　数列的概念 基础过关练 题组一　数列的概念及分类 1.下列说法中,正确的是(　　) A.数列2,4,6,8可表示为集合{2,4,6,8} B.数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列 C.数列{n2+n}的第k(k∈N*)项为k2+k D.数列0,1,2,3,4,…可记为{n}(n∈N*) 2.(多选题)下面四个结论中,错误的是(　　) A.数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 B.数列的项数一定是无限的 C.数列的通项公式的形式是唯一的 D.每个数列都有通项公式 题组二　数列的通项公式及其应用 3.数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(　　) A.(-1)n+1(3n-1)　　　　B.(-1)n(3n-1) C.(-1)n+1(n2+1)　　　　D.(-1)n(n2+1) 4.(多选题)下列有关数列的说法正确的是(　　) A.已知数列,…,按照这个规律,这个数列的第211项为 B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项 C.在数列1,,…中,第8项是2 D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1 5.如图,观察并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多为(　　) 2条直线相交, 3条直线相交, 4条直线相交, 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点 A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55 6.写出下列各数列的一个通项公式: (1),…; (2)-1,,…; (3)2,,…; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…. 题组三　数列的递推公式及简单应用 7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则这个数列的第19项与第20项的和为(　　) A.364　　　　B.380　　　　 C.384　　　　D.396 8.已知数列{an}满足an+1=,若a1=2,则a2 024=(　　) A.2　　　　B.-1　　　　 C.　　　　D.-2 9.已知数列{an}满足a2=0,a2n+1=a2n+(n∈N*),则数列{an}的第2 024项为(　　) A.　　　　 C. 10.已知数列{an}满足an+1=an,且a1=1,则an=(　　) A.　　　　 C. 11.(多选题)已知正项数列{an}满足an+1=则下列结论正确的是(　　) A.若a1=10,则a2 023=2 B.若a3=16,则a1的值有3种情况 C.若数列{an}满足an+2=an,则a1=3 D.若an为奇数,则an-1=2an(n≥2) 题组四　数列的前n项和及简单应用 12.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递减数列 B.a10=-14 C.当n>5时,an<0 D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,若bn=,则数列{bn}的前(n+1)项和Tn+1=(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2×3n-3,则an=　　　.  15.设数列{bn}满足+…+=2n-1,则{bn}的通项公式为　　　　.  16.已知数列{an}满足a1=3,an+1=则a7=　　　,数列{an}的前99项和为　　　.  能力提升练 题组一　数列的通项公式及其应用 1.(多选题)已知数列{an}的前5项依次为2,0,2,0,2,则下列可以作为数列{an}的通项公式的有(　　) A.an=　　　　B.an=(-1)n+1 C.an=2 2.已知an=-n2+2λn,则“λ≤1”是“{an}是递减数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 3.已知数列{an}是递增数列,且an=则a的取值范围是(　　) A. 4.已知数列{an}的通项公式为an=n×,则数列{an}中的最大项的项数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.2或3　　　　D.4 5.已知数列{an}的通项公式为an=,给出下列四个结论: ①数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立; ②数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立; ③数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立; ④数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立. 其中正确的结论有(　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 题组二　数列的递推公式及其应用 6.在计算机语言中,函数y=INT(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),其中INT(x)表示不超过x的最大整数,如INT(0.9)=0,INT(3.14)=3.已知an=INT,b1=a1,bn=an-10an-1(n为正整数且n≥2),则b2 024等于(　　) A.8　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.2 7.已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=(n+1)· cos(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2 023=(　　) A.-1 011　　　　B.-1 012　　　　 C.2 022　　　　D.2 023 8.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　) A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1 B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1 C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1 D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1 9.蜜蜂是母系社会生物,蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂,若不能受精则孵化为雄蜂,即雄蜂是“有母无父”的,雌蜂是“有父有母”的,下图是某只雄蜂的家系图,规定:其“父母”为上溯第1代祖辈,其“祖父母”为上溯第2代祖辈,以此类推,记Fn表示该雄蜂上溯第n代祖辈的数量,例如F1=1.则下列结论中正确的是(　　) A.F7+F9>F10　B.F8+F10>2F9 C.F8+F9>F7+F10　D.4F5+F9>F10 题组三　数列的前n项和及其应用 10.如图,第1个图案的总点数记为a1,第2个图案的总点数记为a2,第3个图案的总点数记为a3,……,依此类推,第n个图案的总点数记为an,则+…+=(　　) … A. 11.已知数列{an}满足an=,则|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9|的值为(　　) A. 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,下列说法错误的是(　　) A.若an=则S50=-1 275 B.若a1=1,=n-1(n≥2),则a4=6 C.若an=(-1)n-1·,则S100= D.若a1=1,a2=2,且anan+1an+2=an+an+1+an+2,则S36=72 13.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}有最小项,没有最大项 B.使an∈Z的项共有6项 C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有7个 D.使Sn取得最小值的n为7 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,证明:≤Tn<1. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(3n+2)an+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　对于A,由数列的定义易知A错误; 对于B,两个数列排列次序不同,是不同的数列,故B错误; 对于C,数列{n2+n}的第k(k∈N*)项为k2+k,故C正确; 对于D,因为0∈N,所以n∈N,这与n∈N*矛盾,故D错误. 故选C. 2.BCD　结合数列的定义与函数的概念可知,A中结论正确;有穷数列的项数就是有限的,B中结论错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,C中结论错误;并不是所有的数列都有通项公式,如根据精确度,π的不同近似值可形成一个数列:3,3.1,3.14,3.141,…,但它没有通项公式,D中结论错误.故选BCD. 3.C　对于A,当n=3时,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,舍去; 对于B,当n=1时,(-1)n(3n-1)=-2≠2,舍去; 对于D,当n=1时,(-1)n(n2+1)=-2≠2,舍去; 对于C,经检验,数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(n2+1).故选C. 4.ACD　对于A,由题意得该数列的一个通项公式为an=,则a211=,故A正确; 对于B,令n(n+1)=120,则n2+n-120=0,显然11不是方程的解,故B错误; 对于C,数列1,,…可改写为,…,所以数列的一个通项公式为an=,所以第8项是,故C正确; 对于D,数列3,5,9,17,33,…可改写为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以该数列的一个通项公式为an=2n+1,故D正确. 故选ACD. 5.B　由题图可得,交点个数的最大值构成数列1,3,6,…,即,…,由此猜想该数列的一个通项公式为an=,易知10条直线相交的交点个数的最大值为该数列的第9项,∴a9==45,故选B. 6.解析　(1)数列中每一项的分子比分母小1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,所以数列的一个通项公式为an=. (2)数列的奇数项为负,偶数项为正.把-1看成-,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1,分子依次为3,8,15,24,…,可化为1×3,2×4,3×5,4×6,…,可写成n(n+2),所以数列的一个通项公式为an=(-1)n·. (3)数列可写成,…,所以数列的一个通项公式为an=. (4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以数列的一个通项公式为an=n+. 7.B　观察数列的前10项可发现偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项的通项公式为a2n-1=a2n-2n=2n2-2n, 则这个数列的第20项为a20=2×102=200, 第19项为a19=a20-20=180, 所以这个数列的第19项与第20项的和为380. 8.B　由an+1=,a1=2,可得a2=-1,a3=,a4=2,……, 所以数列{an}是周期为3的周期数列, 因为2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=-1. 故选B. 规律总结　周期数列的常见结论:若an+1=,则数列{an}的周期为3;若an+1=1-,则数列{an}的周期为3;若an+1=,则数列{an}的周期为4;若an+2=an+1-an,则数列{an}的周期为6. 9.C　由已知得a2n+2=a2n+1-(n∈N*), 所以a2 024=a2 022+, a2 022=a2 020+, a2 020=a2 018+, …… a6=a4+, a4=a2+1-, 累加得a2 024=a2+1-+…+=0+1-. 故选C. 规律总结　若an+1-an=f(n),则通常用累加法求{an}的通项公式,若利用累加得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合. 10.B　由an+1=an,得, 所以,……,(n≥2), 所以×…×,所以, 因为a1=1,所以an=, 经检验a1=1满足上式,所以an=,故选B. 规律总结　若=f(n)或=f(n),则通常用累乘法求{an}的通项公式,若利用累乘得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合. 11.BD　对于A,由a1=10及题意得该数列为10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…, 则a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A错误. 对于B,若a2为偶数,则a2=2a3=32,于是a1=64或a1=29; 若a2为奇数,则a2=a3-3=13,于是a1=26,因此a1的值会出现3种情况,B正确. 对于C,由数列{an}满足an+2=an,得数列{an}是周期为2的周期数列,所以a3=a1, 当a1为偶数时,a2=,则a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去); 当a1为奇数时,a2=a1+3,则a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C错误. 对于D,若an-1为奇数,则an=an-1+3,为偶数,与an为奇数矛盾,因此an-1为偶数,所以an=,则an-1=2an(n≥2),D正确.故选BD. 12.ACD　由Sn=9n-n2可得, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+10, 又a1=S1=8=-2×1+10,适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=-2n+10. 对于A,由an+1-an=-2<0,得an+1<an,所以数列{an}是递减数列,所以A正确; 对于B,a10=-2×10+10=-10,所以B错误; 对于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正确; 对于D,因为Sn=9n-n2=-,n∈N*,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,所以D正确.故选ACD. 13.C　由题意得Sn=n2+2n,当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1, 又a1=S1=3满足上式,∴an=2n+1,n∈N*, ∴bn=, ∴Tn+1=b1+b2+…+bn+1=+…+.故选C. 规律总结　裂项求和的常见类型: 接龙型:an=; 隔项型:an=; 三项型:an=; 指数型:an=; 根式型:an=). 14.答案　 解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-3-2×3n-1+3=4×3n-1, 当n=1时,a1=S1=2×3-3=3不满足上式易错点, 所以an= 15.答案　bn= 解析　设Tn=+…+, 当n=1时,T1==2×1-1=1,即b1=2, 当n≥2时,Tn-Tn-1==2n-1-[2(n-1)-1]=2,故bn=2n+1, 经检验b1=2不符合bn=2n+1,所以bn= 16.答案　3; 解析　由a1=3,an+1= 得a2=1-a1=-2,a3==3,a8=1-a7=-2,……, 所以数列{an}是以6为周期的周期数列, 所以数列{an}的前99项和为16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3=. 能力提升练 1.AC　对于A,C,易得a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,a5=2,符合题意; 对于B,a1=0,不符合题意;对于D,a2=2,不符合题意.故选AC. 2.A　因为数列{an}是递减数列,所以λ< 易错点.因为{λ|λ≤1}⫋,所以“λ≤1”是“{an}是递减数列”的充分不必要条件.故选A. 3.D　因为数列{an}是递增数列,且an= 所以<a<2, 则a的取值范围是.故选D. 易错警示　本题中的数列{an}是分段数列并且为递增数列,需要每段上分别单调递增,且数列的每一项都小于它的后一项,即分段端点满足后一项大于前一项,而函数f(x)=在R上单调递增,还需满足(2a-1)×5+4≤(4-a)5-4+15.二者不同,解题时需要注意. 4.C　由题意得a1=1×<a3, 当n≥4时,an+1-an=(n+1)·-n·<0,所以an+1<an, 所以数列{an}中的最大项的项数为2或3. 故选C. 5.B　因为an=,所以an+1=, 所以an+1-an=<0, 所以{an}为递减数列,故①③错误. 由an=, 可知当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+,所以an∈, 当m≤-2时,an>m恒成立; 当-≤m<0时,an≤m恒成立,故②④正确.故选B. 6.A　由已知得b1=a1=INT=2, a2=INT=28,所以b2=a2-10a1=28-20=8, 同理可得,b3=5,b4=7,b5=1,b6=4,b7=2,b8=8,……, 所以{bn}是周期为6的周期数列,由2 024=6×337+2,得b2 024=b2=8.故选A. 7.B　由an+1+an=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),得a2+a3=(2+1)×cos=5, a6+a7=(6+1)×cos=-7, a8+a9=(8+1)×cos=9, a10+a11=(10+1)×cos=-11, …… a2 020+a2 021=(2 020+1)×cos=2 021, a2 022+a2 023=(2 022+1)×cos=-2 023, ∴S2 023-a1=a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+…+a2 020+a2 021+a2 022+a2 023=-3+5-7+9-11+…+2 021-2 023=2×-2 023=-1 013, ∴S2 023=-1 013+a1=-1 012.故选B. 8.D　∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<, ∴an+2-an+1>an+1-an,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)>0, ∴{an+1-an}为递增数列. ∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5, a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6, 同理可得,2a5<a4+a6<a3+a7<a2+a8<a1+a9. ∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故选D. 9.B　由题意得F1=1,F2=2,当n≥3时,Fn=Fn-1+Fn-2. 对于A,F10=F9+F8>F7+F9,A错误; 对于B,F8+F10=F8+F8+F9>F7+F8+F9=F9+F9=2F9,B正确; 对于C,F7+F10=F7+F8+F9>F8+F9,C错误; 对于D,F10-F9-4F5=F8-4F5=F7+F6-4F5=F6+F4-2F5=F4+F4-F5=F4-F3>0,故4F5+F9<F10,D错误. 故选B. 10.A　由题图得,a1=1,a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),……, ∴当n>1,n∈N*时,an=3(n-1)=3n-3, 当n>1,n∈N*时,, ∴+…++…+.故选A. 11.A　由已知得an+1-an=, 当n=1时,a2-a1>0; 当n≥2时,an+1-an<0, 所以|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a10-a9| =a2-a1+a2-a3+a3-a4+…+a9-a10=2a2-a1-a10 =2-(-1)-. 故选A. 12.C　对于A,由已知得S50=12-22+32-42+…+492-502=-3-7-11-…-99=-1 275,故A中说法正确; 对于B,a4=×a1=3×2×1×1=6,故B中说法正确; 对于C,因为an=(-1)n-1·, 所以S100=-…-,故C中说法错误; 对于D,当n=1时,可得a3=3,当n=2时,可得a4=1,依次可求得a5=2,依此类推,可知该数列的周期为3,故S36=12×(1+2+3)=72,故D中说法正确. 故选C. 13.BD　对于A,an=, 易知{an}在[1,7]和[8,+∞)上均单调递减,当n∈[1,7]时,an<1,当n∈[8,+∞)时,an>1,所以an的最大值为a8=10,最小值为a7=-8, 故数列{an}有最小项,也有最大项,故A错误. 对于B,易知当an∈Z时,2n-15应为9的约数,故2n-15的值为±1,±3,±9, 结合n为正整数,得n=3,6,7,8,9,12,故B正确. 对于C,当1≤n≤2或n≥8时,an>0,当4≤n≤7时,an<0,当n=3时,an=0, 故当n=1,2,3,4,5,7时,满足anan+1an+2≤0,共有6个这样的n,故C错误. 对于D,由已知得{an}从第8项起均为正数,故{Sn}的最小项为S7,故D正确.故选BD. 14.解析　(1)由a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*)①,可得当n=1时,a1=2, 当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=2n-2②, ①-②可得(2n-1)an=2,即an=, 当n=1时,a1=2满足上式, 所以an=(n∈N*). (2)证明:由(1)可得bn=, 所以Tn=+…+, 因为Tn=1-随着正整数n的增大而增大,且>0,所以T1≤Tn<1,即≤Tn<1,得证. 15.解析　(1)由6Sn=(3n+2)an+2得当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2, 当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2, 所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1, 所以,……,, 累乘得×…×,所以an=3n-1(n≥2), 当n=1时,a1=2满足上式,所以an=3n-1. (2)由(1)得bn=, 所以T100=+…+. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$