第4章 第1课时 等差数列的前n项和及其性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和及其性质 基础过关练 题组一　求等差数列的前n项和 1.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为(　　) A.200　　　　B.100　　　　C.90　　　　D.70 2.在等差数列{an}中,a6+a7+a8=3,则此数列的前13项和等于(　　) A.8　　　　B.26　　　　C.13　　　　D.162 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,S5=5S3-5,则a9=(　　) A.2　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.-1 4.(多选题)记等差数列{an}的前n项和为Sn,则根据下列条件能够确定S21的值的是(　　) A.a11=10　　　　B.a4+a19=10 C.a7=10,S13=130　　　　D.S7=100,S14=300 5.如果一个等差数列的前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有(　　) A.13项　　　　B.12项　　　　C.11项　　　　D.10项 6.设等差数列{an}满足a2+a5=19,a6-a3=9. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,若S11+Sk=Sk+2,求k的值. 题组二　等差数列前n项和的性质 7.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1 8.记Sn是等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=21,则S12=(　　) A.27　　　　B.36　　　　C.45　　　　D.78 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 017=S2 018,Sk=S2 012,则正整数k为(　　) A.2 021　　　　B.2 022　　　　C.2 023　　　　D.2 024 10.已知数列{an}满足an+1=an+6,且其前n项和为Sn,则=(　　) A.12　　　　B.6　　　　C.3　　　　D.2 11.已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N*),其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则m=(　　) A.6　　　　B.7　　　　 C.12　　　　D.13 12.有两个等差数列{an}、{bn},其前n项和分别为Sn、Tn. (1)若,则=　　　　;  (2)若,则=　　　　;  (3)若,则=　　　　.  题组三　等差数列前n项和的应用 13.图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是(　　) 　　 A.61　　　　B.66　　　　C.90　　　　D.91 14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如下图第一行的1,3,6,10称为三角形数,第二行的1,4,9,16称为正方形数,则下列各数既是三角形数又是正方形数的是(　　) A.55　　　　B.49　　　　C.36　　　　D.28 15.蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.44π　　　　B.64π　　　　C.70π　　　　D.80π 16.如图,三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,…排列而成,按照此规律,则该数阵中第10行从左至右的第4个数是　　　　.  17.已知等差数列{an}中,a1=10,a5=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Sn. 能力提升练 题组一　求等差数列的前n项和 1.已知函数f(x)=|x-1|,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若f(a1 012)=f(a1 013),则S2 024=(　　) A.1 012　　　　B.2 024　　　　C.3 036　　　　D.4 048 2.已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,则S2 022=(　　) A.2 022　　　　B.-2 022　　　　C.4 044　　　　D.-4 044 3.定义:对于数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a与b对于模m同余或a同余于b模m,记作a≡b(mod m).已知正整数t满足t≡11(mod 6),将所有符合条件的t的值按从小到大的顺序排列,构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn,则的最小值为(　　) A.12　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.18 4.若[x]表示不超过x的最大整数(例如:[0.1]=0,[-0.1]=-1),数列{an}满足a1=3,an+1-an=2n+2(n∈N*),则[]+…+[]=(　　) A.1 010×2 021　　　　B.1 010×2 020 C.1 009×2 021　　　　D.1 009×2 020 5.数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}满足:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值,则数列{bn}的前(2n+1)项和为　　　　.  题组二　等差数列前n项和的性质 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,m≥2,m∈N*,则m等于(　　) A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5 7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=(　　) A.　　　　C. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为　　　.  题组三　等差数列前n项和的应用 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,,则+…+=(　　) A.　　　　C. 10.已知等差数列{an}中,a3=9,a5=17,记数列的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤(m∈Z)对任意的n∈N*恒成立,则整数m的最小值是(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 11.(多选题)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是(　　) A.若a3+a7=4,则S9=18 B.若S15>0,S16<0,则 C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17 D.若a8=S10,则S9>0,S10<0 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,则由题意可知,a1=-20,a10=40,所以S10==100. 2.C　由已知得a6+a7+a8=3a7=3, ∴a7=1,故数列{an}的前13项和等于=13a7=13.故选C. 3.A　记等差数列{an}的公差为d, 由S5=5S3-5可得5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,① 因为,所以S6=3S3,即6a1+15d=3(3a1+3d),整理可得a1=2d,② 联立①②可得a1=, 故a9=a1+8d=2.故选A. 4.AD　设等差数列{an}的公差为d.对于A,S21==21a11=210,故A正确; 对于B,a4+a19=a11+a12=2a11+d=10,因为d的值不确定,所以无法求出a11的值,所以无法确定S21的值,故B错误; 对于C,因为S13==13a7,所以由a7=10,S13=130无法确定S21的值,故C错误; 对于D,因为S14-S7=a8+a9+…+a14=a1+a2+…+a7+7d×7=100+49d=300-100=200,所以49d=100, 又S21-S14=a15+a16+…+a21=a1+a2+…+a7+14d×7=100+200=300,所以S21=S14+300=600,故D正确. 故选AD. 5.A　设这个等差数列为{an},其前n项和为Sn,则a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146,n>6,n∈N*,因此3(a1+an)=34+146=180,即a1+an=60, 又Sn=390,所以=390,得n=13,故这个数列有13项. 6.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由故an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)由(1)可知Sn=, 因为S11+Sk=Sk+2,所以,整理得6k=180,解得k=30. 7.B　∵等差数列的前n项和Sn可表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数)的形式,且Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∴1+λ=0,∴λ=-1. 8.D　解法一:设等差数列{an}的公差为d, 因为 所以S12=12a1+×d=12×1+66×1=78.故选D. 解法二:因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, 于是2(S6-S3)=S3+(S9-S6), 将S3=6,S6=21代入上式,解得S9=45, 又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),所以S12=78.故选D. 9.C　因为Sn关于n的函数图象是二次函数图象上的一些点,所以由二次函数图象的对称性及S2 017=S2 018,Sk=S2 012,可得,解得k=2 023,故选C. 10.B　∵an+1=an+6,∴数列{an}是以6为公差的等差数列, ∴=a1+3n-a1-3(n-1)=3, ∴数列是以3为公差的等差数列,∴=2×3=6.故选B. 11.A　项数为2m+1的{an}中奇数项共有(m+1)项, 其和为=(m+1)am+1=140, 项数为2m+1的{an}中偶数项共有m项,其和为=mam+1=120, 所以,解得m=6.故选A. 规律总结　已知等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn.若项数为2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,(S奇≠0,an≠0);若项数为2n-1(n∈N*),则S奇-S偶=an,(S奇≠0). 12.答案　(1) 解析　(1). (2). (3)因为{an},{bn}为等差数列,且, 所以可设Sn=kn(2n+3),Tn=kn(n+1)(易错点:Sn,Tn均为n的二次函数), 则a5=S5-S4=65k-44k=21k,b10=T10-T9=10k×11-9k×10=20k,所以. 规律总结　若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则(bn≠0,T2n-1≠0). 13.B　分别观察各图中小正方体木块的个数,依次为1,1+5,1+5+9,…, 归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,且各层的小正方体木块的个数构成以1为首项,4为公差的等差数列,其前n项和Sn=n+=2n2-n, 所以S6=2×36-6=66. 故第6个叠放的图形中小正方体木块的总数为66. 故选B. 14.C　由题意知,三角形数可看作1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,……, 则第n个三角形数为1+2+3+…+n=; 正方形数可看作1=12,4=22,9=32,16=42,……,则第n个正方形数为n2. 对于A,令n2=55,其解不是正整数,所以55不是正方形数,故A错误; 对于B,令n2=49,解得n=7,令=49,其解不是正整数,所以49不是三角形数,故B错误; 对于C,令n2=36,解得n=6,令=36,解得n=8,故C正确; 对于D,令n2=28,显然其解不是正整数,所以28不是正方形数,故D错误. 故选C. 15.D　由题意可知每段圆弧的圆心角都是,且每段圆弧的半径依次增加1, 则第n段圆弧的半径为n,记第n段圆弧的弧长为an,则an=·n, 所以这15段“蚊香”的长度为×(1+2+3+…+15)==80π. 故选D. 16.答案　146 解析　将三角形数阵中每行最左边的一列数2,5,11,20,…记为数列{an},观察分析可得an+1=an+3n,且a1=2. 由an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=2+3+3×2+3×3+…+3(n-2)+3(n-1) =2+3×n+2, 故a10=×10+2=137,即第10行从左到右的第一个数是137,按照规律,第4个数应该是137+3×3=146. 17.解析　(1)∵数列{an}是等差数列,且a1=10,a5=2,∴公差d==-2, ∴an=a1+(n-1)d=10-2(n-1)=12-2n. (2)由(1)知an=12-2n, ∴当n<6时,an>0;当n=6时,an=0;当n>6时,an<0, 因此,当n≤6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an==11n-n2; 当n>6时,Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+a6-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an) =2×(11×6-62)-(11n-n2)=n2-11n+60. 综上,Sn= 能力提升练 1.B　由题可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 因为{an}的公差不为0,所以a1 012≠a1 013, 又因为f(a1 012)=f(a1 013),所以=1, 所以a1 012+a1 013=2,故S2 024==2 024.故选B. 2.D　易知函数f(x)=x3+4x的定义域为R,关于原点对称, ∵f(-x)+f(x)=x3+4x=0, ∴f(x)是R上的奇函数. ∵f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100, ∴f(a3+2)+f(a2 020+2)=0, ∴a3+2+a2 020+2=0, ∴a3+a2 020=-4=a1+a2 022, ∴S2 022==1 011×(-4)=-4 044, 故选D. 3.C　由题意可知an=6n-1,因为an+1-an=6, 所以数列{an}是等差数列,则Sn==3n2+2n, 可得+4≥12+4=16, 当且仅当n=1时,等号成立,故的最小值为16. 故选C. 4.A　∵an+1-an=2n+2, ∴an-an-1=2(n-1)+2=2n,an-1-an-2=2n-2,……,a3-a2=6,a2-a1=4, 累加可得an-a1=4+6+…+(2n-2)+2n==n2+n-2, 又a1=3,∴an=n2+n+1, ∵n2<n2+n+1<(n+1)2,∴[=n, 故[]+…+[]=1+2+…+2 020==1 010×2 021.故选A. 5.答案　n2+3n+1 解析　由已知得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=S1=1,满足上式, 因此an=2n-1,由an≥m,得n≥,则当m为正奇数时,bm=,当m为正偶数时,bm=+1, 于是数列{bn}的前(2n+1)项和为(b1+b3+b5+…+b2n+1)+(b2+b4+b6+…+b2n) =[1+2+3+…+(n+1)]+[2+3+4+…+(n+1)]=2×-1=n2+3n+1. 6.D　解法一:因为am=Sm-Sm-1=2(m≥2,m∈N*),am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列{an}的公差为am+1-am=1, 又Sm==0,所以a1=-2,所以am=-2+(m-1)×1=2,解得m=5. 解法二:由等差数列前n项和的性质知数列成等差数列, 则(m≥2,m∈N*)成等差数列,所以2·,即0=,解得m=5. 7.A　由题意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为,所以,即S8-S4=S4, 则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列,且S8=S4, 则S12-S8=2S4,S16-S12=S4,所以S16=7S4,所以.故选A. 8.答案　60 解析　设P=a1+a3+a5+…+a97+a99,Q=a2+a4+a6+…+a98+a100, 因为数列{an}是等差数列,且公差d=,S100=145, 所以 所以a1+a3+a5+…+a99=60. 9.B　易知S3==5a3, 因为,所以,与联立,解得 设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2=2,a1=-1, 则Sn=na1+d=n(n-2), 当n≥3时,, 所以+…+ = =. 故选B. 10.B　设等差数列{an}的公差为d,由a3=9,a5=17, 得∴an=4n-3, 故Sn=1++…+, 令bn=S2n+1-Sn,则bn=+…+, 则bn+1-bn=+…+-<0,∴{bn}是递减数列,∴{bn}的最大项为b1,且b1=, 根据题意可得S2n+1-Sn≤,得m≥, 又m∈Z,∴m的最小值为4.故选B. 11.ACD　对于A,由a3+a7=4,得S9==18,A正确; 对于B,由S15==15a8>0,得a8>0,由S16==8(a8+a9)<0, 得a8+a9<0,故a9<-a8<0,因此=(a8+a9)(a8-a9)<0,即,B错误; 对于C,a5+a6=(2a3-a1)+(2a4-a2)=2(a3+a4)-(a1+a2)=13,则a7+a8=(2a5-a3)+(2a6-a4)=2(a5+a6)-(a3+a4)=17,C正确; 对于D,设{an}的公差为d,由a8=S10,得a1+7d=10a1+45d,解得d=-a1, 则S9=9a1+36d=9a1<0,D正确. 故选ACD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$