5.2.3 简单复合函数的导数（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5.2.3　简单复合函数的导数 基础过关练 题组一　复合函数的求导法则 1.函数y=(2 024-8x)3的导数y'=(　　) A.3(2 024-8x)2　　　　B.-24x C.-24(2 024-8x)2　　　　D.24(2 024-8x)2 2.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a∈R,b∈R), f '(x)为f(x)的导函数,则f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=(　　) A.0　　　　B.2 021　　　　C.2 022　　　　D.6 3.(多选题)下列复合函数的导数计算正确的有(　　) A.若f(x)=e2x,则f '(x)=2e2x B.若f(x)=ln,则f '(x)=- C.若f(x)=33x+1,则f '(x)=33x+1ln 3 D.若f(x)=sin2,则f '(x)=3cos 6x 4.设函数f(x)=(2x2-ex)·cos(e为自然对数的底数)的导函数为f '(x),则f '(0)=　　　　.  5.求下列函数的导数: (1)y=e-x(x+1)2; (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x+1); (3)y=sin 2x+cos2x; (4)y=. 题组二　复合函数求导的应用 6.函数f(x)=log2(3x)的图象在点P处的切线方程为(　　) A.3x-y-1=0　　　　B.3x-3y-1=0 C.3x-(ln 2)y-1=0　　　　D.3x-(3ln 2)y-1=0 7.如图,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥容器,以2 cm3/s的速度向该容器内注入液体,随着时间t(单位:s)的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,忽略容器的厚度,则当t=π时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率(单位:cm/s)为(　　) A. 8.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为g(x),则下列说法错误的是(　　) A.若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则g(x)的图象关于直线x=a对称 B.若g(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)的图象有对称中心 C.若f(x)为周期函数,则g(x)为周期函数 D.若f(x+1)为奇函数,g(x-1)为偶函数,则g(x)的周期为2 9.对任意x∈(1,+∞),都有cosx≥ax-a成立,则实数a的取值范围为　　　　.  10.已知曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且此切线与直线l间的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　. 能力提升练 题组　复合函数的导数及其应用 1.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时间为(　　) A.20天　　　　B.30天　　　　C.45天　　　　D.60天 2.(多选题)关于双曲正弦函数sinh x=和双曲余弦函数cosh x=,下列结论正确的是(　　) A.sinh(-x)=-sinh x B.(cosh x)'=-sinh x C.cosh(-1)<cosh 2 D.sinh2x-cosh2x=1 3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象与函数g(x)=的图象的任意连续三个交点的连线构成一个正三角形,则ω=(　　) A. 4.设a∈R,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(x+1)有且仅有1个实根,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1]∪[0,1] B.[-1,0]∪[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 5.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=ln|x|图象上的两个不同的点,且曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,则x1-x2的取值范围为(　　) A.(0,+∞)　　　　B.(0,2) C.[1,+∞)　　　　D.[2,+∞) 6.若函数y1=sin 2x1+,y2=x2+3,则的最小值为(　　) A. C. 7.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(3-x)=4, f(x)的导函数为g(x),函数y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称,则f+g(2 024)=(　　) A.3　　　　B.-3　　　　C.1　　　　D.-1 8.已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为　　　　.  9.设函数f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1,x∈,曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围是　　　　.  10.已知P,Q分别是曲线y=eex和y=上的点,其中e是自然对数的底数,则|PQ|的最小值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　y'=3(2 024-8x)2×(2 024-8x)'=3(2 024-8x)2×(-8)=-24(2 024-8x)2.故选C. 2.D　依题意, f(x)的定义域为R,因为f(x)=asin 3x+bx3+3,所以f(-x)=-(asin 3x+bx3)+3,所以f(x)+f(-x)=6,所以f(2 021)+f(-2 021)=6.又f '(x)=3acos 3x+3bx2,所以f '(-x)=f '(x),所以f '(2 022)-f '(-2 022)=0,所以f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=6.故选D. 3.ABD　对于A,f '(x)=e2x·2=2e2x,所以A正确; 对于B, f '(x)=,所以B正确; 对于C, f '(x)=3×33x+1ln 3=33x+2ln 3,所以C错误; 对于D, f '(x)=2sin=3cos 6x,所以D正确.故选ABD. 4.答案　 解析　f '(x)=(4x-ex)cos-2(2x2-ex)·sin,∴f '(0)=-. 5.解析　(1)y'=-e-x(x+1)2+e-x·2(x+1)=e-x(1-x2). (2)y'=-3sin(3x-1)-. (3)y'=2cos 2x+2cos x(-sin x)=2cos 2x-sin 2x. (4)y'=. 6.C　由已知得f '(x)=, 所以f ', 所以切线方程为y=, 即3x-(ln 2)y-1=0.故选C. 7.C　设注入液体的时间为t(单位:s)时,圆锥容器内液体的高度为h(单位:cm), 则π··h=2t,得h=, 则h'=,当t=π时,h'=,即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s. 故选C. 8.D　对于A,若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则f(x)+f(2a-x)=0, 两边求导,可得f '(x)-f '(2a-x)=0,即g(x)=g(2a-x), 所以g(x)的图象关于直线x=a对称,故A正确; 对于B,若g(x)的图象关于直线x=a对称,则g(x)=g(2a-x), 令F(x)=f(x)+f(2a-x),则F'(x)=f '(x)-f '(2a-x)=g(x)-g(2a-x)=0, 所以F(x)=C(C为常数),即f(x)+f(2a-x)=C,所以f(x)的图象有对称中心,故B正确; 对于C,若f(x)为周期函数,则f(x+T)=f(x)(T≠0), 两边求导,可得f '(x+T)=f '(x),即g(x+T)=g(x),故C正确; 对于D,若f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1),两边求导,可得-f '(-x+1)=-f '(x+1), 即g(-x+1)=g(x+1)①, 又g(x-1)为偶函数,故g(-x-1)=g(x-1),可得g(-(x-2)-1)=g((x-2)-1), 即g(-x+1)=g(x-3)②, 由①②得到g(x+1)=g(x-3),故g(x)的周期为4,故D错误.故选D. 9.答案　 解析　如图,画出函数y=cosx和y=ax-a的图象,易知两个函数的图象都过点(1,0), 由y=cosx得y'=-x, 当直线y=ax-a与y=cosx的图象在点(1,0)处相切时,有a=-, 由图可知,若对任意x∈(1,+∞),都有cosx≥ax-a成立,则a≤-. 10.答案　x-y-1=0或x-y+3=0 解析　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,∴y'x=0=1. ∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0. ∵直线l与直线x-y+1=0平行, ∴直线l的方程可设为x-y+m=0(m≠1). 则,解得m=-1或m=3. ∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0. 能力提升练 1.D　由题意得P'(t)=-·P0·ln 2,则P'(15)=-·P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,令P(t)=4.5,得18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D. 2.AC　sinh(-x)==-sinh x, ∴A中结论正确; (cosh x)'==sinh x≠-sinh x, ∴B中结论错误; cosh 2-cosh(-1)=>0,∴cosh 2>cosh(-1),∴C中结论正确; sinh2x-cosh2x==-1, ∴D中结论错误.故选AC. 3.A　由f(x)=sin ωx得f '(x)=ωcos ωx,所以g(x)=cos ωx. 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin ωx和g(x)=cos ωx的大致图象,如图所示, 设两图象相邻的三个交点分别为A,B,C,则△ABC为正三角形, 作BD⊥AC,垂足为D,当sin ωx=cos ωx时,sin ωx=cos ωx=±,所以|BD|=2×, 所以|AC|=4,所以f(x)=sin ωx的最小正周期T=4,故=4,所以ω=.故选A. 4.A　问题转化为函数y=f(x)知y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点, 由解析式知y=f(x)知y=a(x+1)的图象都经过点(-1,0),所以只需直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象在其他点处均不相交. 作出直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象,如图, 对于y=x2+3x+2,有y'=2x+3,故y'|x=-1=1; 对于y=ln(-x),有y'=,故y'|x=-1=-1. 结合图象可知,当a≤-1或0≤a≤1时,y=f(x)与y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点. 所以a∈(-∞,-1]∪[0,1].故选A. 5.D　当x>0时, f(x)=ln x, f '(x)=, 当x<0时, f(x)=ln(-x), f '(x)=-, 因为曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直, 所以f '(x1)·f '(x2)==-1,即x1x2=-1, 又x1>x2,所以x1>0>x2, 因此x1-x2=x1+≥2=2, 当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立, 所以x1-x2的取值范围为[2,+∞).故选D. 6.D　(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离的平方的最小值. 由题可得y'1=2cos 2x1,令y'1=1,则cos 2x1=, 又x1∈,所以x1=,所以y1=, 故函数y1=sin 2x1+处的切线与直线y2=x2+3平行. 易得切点到直线y2=x2+3的距离为, 易知到直线y2=x2+3的距离的平方, 所以. 故选D. 7.A　因为f(x)+f(3-x)=4,所以函数f(x)的图象关于点中心对称, f=2. 对f(x)+f(3-x)=4两边求导,得f '(x)-f '(3-x)=0,即f '(x)=f '(3-x),即g(x)=g(3-x),所以函数g(x)的图象关于直线x=对称,g(1)=g(2). 根据图象变换的规律,由y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称, 得g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(1)=1, 则g(x)的周期T=4×=2,故g(2 024)=g(2)=g(1)=1,故f+g(2 024)=2+1=3.故选A. 8.答案　x-y=0 解析　设曲线y=ex-1上任一点的坐标为(x,y),满足y=ex-1, 则该点关于直线x-y=0的对称点为(y,x),得x=ey-1,整理可得y=f(x)=ln(x+1). 设公切线与曲线y=ex-1切于点(x1,-1),与曲线y=ln(x+1)切于点(x2,ln(x2+1)), 易得y=ex-1的导函数为y'=ex,y=ln(x+1)的导函数为y'=,则 整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1), 所以,即(x2+1=(x2+1)-1,解得x2=0,所以x1=0. 所以公切线与两曲线均切于点(0,0),且公切线的斜率为1,故与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0. 9.答案　 解析　因为f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1, 所以f '(x)=2cos 2x+2sin x+a=2(1-2sin2x)+2sin x+a=-4sin2x+2sin x+a+2, 令f '(x)=3,可得f '(x)=-4sin2x+2sin x+a+2=3, 可得4sin2x-2sin x+1-a=0, 已知x∈,令t=sin x,则-1≤t≤1,且函数t=sin x在上单调递增, 令h(t)=4t2-2t+1-a,-1≤t≤1, 因为曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线, 所以函数h(t)在[-1,1]上有两个不相等的零点, 所以<a≤3. 因此,实数a的取值范围是. 10.答案　 解析　由y=eex得ln y=ex,即x=, 所以函数y=eex的反函数是y=,因此它们的图象关于直线y=x对称, 因此,当|PQ|取得最小值时,P,Q两点一定关于直线y=x对称,且曲线y=eex在点P处的切线及曲线y=在点Q处的切线均与直线y=x平行. 由y=得y'=,令=1,得x=,此时y=-, 因此曲线y=上斜率为1的切线的切点坐标为,它到直线y=x的距离d=, 由对称性知|PQ|的最小值为2d=. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$