5.2.3简单复合函数的导数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 新知探索 复合函数的概念 已知函数 答案：函数 都是由两个基本函数复合而成的. 问题1：这两个函数有什么共同特征？ 新知探索 复合函数的概念 y＝f (g(x)) 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数． 新知探索 复合函数的导数 问题2： 求函数的导数. 答案：函数是复合函数，令,得， 以表示对的导数，表示对的导数，一方面， ==2 2 ， 另一方面 = ， =2， 可以发现 . 新知探索 复合函数的导数 2.复合函数的求导法则 一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 注意点： (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 典例精析 题型一：复合函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2. 解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝2x＋ ，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin . (3)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝＝ . (4)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. 典例精析 题型一：复合函数的导数 反思与感悟　 (1)求复合函数的导数的步骤如右图 (2)求复合函数的导数的注意点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 典例精析 题型二：复合函数与导数运算法则结合求导 例2　求下列函数的导数. 典例精析 反思与感悟　 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则， 联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等 价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复 合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导. 题型二：复合函数与导数运算法则结合求导 典例精析 题型三：与切线有关的问题 解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 典例精析 题型三：与切线有关的问题 反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提， 审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数， 解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 跟踪练习 √ √ 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 √ 解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数， 其中B由y＝cos u，u＝x＋ 复合而成； C由y＝，u＝ln x复合而成； D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成． 跟踪练习 2.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____. 跟踪练习 解析　由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x， 得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x， 跟踪练习 4.曲线 y＝ 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____. 令x＝0，得y＝－e2， 令y＝0，得x＝2， 解析 课堂小结 复合函数 的求导法则 复合函数 的概念 复合函数 的求导法则 与切线有关 的问题 本 课 结 束 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. 解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝ ＝＝. (2)y′＝(x)′ ＝x′＋x()′ ＝＋ ＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′ ＝－sin 4x－cos 4x·4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. 例3　设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)， 曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 由题意，得＋a＝，故