4.3.1 等比数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.3 等比数列 知识点 1 等比数列的概念 4.3.1 等比数列的概念 必备知识 清单破 文字 语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0) 数学 符号 在数列{an}中,若 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等比数列,常数q称为等比数列的公比 递推 公式  =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*) 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　    a,G,b成等比数列⇔G2=ab⇔G=± (a,b同号且不为0). 知识点 2 等比中项 　　首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1. 　　当q>0且q≠1,a1≠0时,an=f(n)= ·qn为指数型函数. 知识点 3 等比数列的通项公式 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.当q<0,a1≠0时,数列{an}是摆动数列,不具有单调性,且数列中所有的奇数项同号,所有的偶 数项也同号,但是奇数项与偶数项异号. 2.当q=1,a1≠0时,数列{an}是各项均不为0的常数列,不具有单调性. 3.当 或 时,数列{an}单调递增. 4.当 或 时,数列{an}单调递减. 知识点 4 等比数列的单调性 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.在等比数列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则akal=aman.特别地,若m+n=2r(m,n,r∈N*),则aman= . 2.若数列{an}是公比为q(q>0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b>0且b≠1)是公差 为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{ }(b>0且b≠1)是公比为bd的 等比数列. 3.在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,依次取相邻k(k∈N*)项的和(或积)构成公比为qk(或 ) 的等比数列. 4.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列 是公比为  的等比数列,数列{ }是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. 知识点 5 等比数列的常用性质 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 5.若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来的顺序 排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1. 6.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列. 7.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与 也都是等比数列, 公比分别为pq和 . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,则{an}一定是等比数列吗? 2.2和8的等比中项是4吗? 3.常数列一定既是等差数列又是等比数列吗? 4.等比数列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立吗? 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.若an=0,则数列{an}不是等比数列. 2.不是.应该是±4,可以说4是2和8的等比中项. 3.不一定.非零常数列既是等差数列又是等比数列. 4.成立.等比数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq可以推广使用,即若m+n+…+k= p+q+…+r,则有am·an·…·ak=ap·aq·…·ar(等式两边项的个数相同,且m,n,…,k,p,q,…,r∈N*). 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 等比数列的判定(证明) 判定一个数列是等比数列的方法 (1)定义法:若数列{an}满足 =q(q为常数且不为零)或 =q(n≥2,q为常数且不为零),则数 列{an}是等比数列. (2)等比中项法:对于数列{an},若 =anan+2且an≠0,则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=cqn(c≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 　　其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是等比数列的依据,通项公式法只能在 小题中应用,不能作为解答题中判定一个数列是等比数列的依据. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4. (1)求a1的值; (2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列. 解析    (1)因为Sn=2an+n-4,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1-4,解得a1=3. (2)证明:因为Sn=2an+n-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-5, 所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2), 所以an-1=2(an-1-1)(n≥2), 又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),易知b1=a1-1=2≠0, 所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   1.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四个量:a1,q,n,an,可知三求一,进行适当的变 形以便于灵活应用. 2.等比数列通项公式的变形 (1)an= ·qn(q≠0,q≠1): 　　这一变形可以体现等比数列与指数函数的关系.当q>0且q≠1,a1≠0时,y= ·qx是指数型 函数. (2)①an=amqn-m,②qn-m= (m,n∈N*): ①表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意一项an; ②表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q. 定点 2 等比数列通项公式的求解及应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 3.在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了减少未知数的个数,常采用以下技巧: (1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为 ,a,aq(a≠0,q≠0). (2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 ,a,aq,aq2(a≠0,q≠0).四个符号相同的数成 等比数列,可设为 , ,aq,aq3(a≠0,q≠0). 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列{an}的通项公式. 解析    设等比数列{an}的公比为q. 解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6, 从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1. 因为a4,a5+1,a6成等差数列, 所以a4+a6=2(a5+1), 即q-3+q-1=2(q-2+1), 即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q= , 故an=a1qn-1=q-6·qn-1= . 解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7. 则a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 因为a4,a5+1,a6成等差数列, 所以q-3+q-1=2(q-2+1), 即q-1(q-2+1)=2(q-2+1), 从而q= ,故an=qn-7= . 解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,知a4,a5+a7,a6成等差数列, 所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),易知a4,a6同号,所以a4+a6≠0, 所以q= ,故an=a7qn-7=qn-7= . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结    等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能 简化运算. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知四个数中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两数之积为16,首尾两 个数之积为-128,求这四个数. 思路点拨    先根据后三个数成等比数列可设后三个数为 ,a,aq,然后根据前三个数成等差数 列得第一个数为 -a,最后结合题意列方程组求解. 解析    由题可设这四个数为 -a, ,a,aq,则  所以 或  因此这四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的方法解题,则需建立 关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的有关性质(若m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq)来求解,那么会起到化繁为简的效果. 2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 定点 3 等比数列性质的应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知{an}为等比数列. (1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解析    (1)由等比数列的性质得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7. (2)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10. 规律总结    利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列 中项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   　　当数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等 比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有: (1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列 为等 比数列;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2 -a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列. (2)an+1=p (p>0,an>0),两边同时取常用对数,得lg an+1=qlg an+lg p,令bn=lg an,得bn+1=qbn+lg p,即 为(1)中类型,求出bn后,得an=1 . (3)an+2=pan+1+qan(pq≠0),设an+2-kan+1=h(an+1-kan),比较系数可得h+k=p,-hk=q,从而求出h,k,于是{an+1- kan}是公比为h的等比数列,即为(1)中类型. 定点 4 构造等比数列求数列的通项公式 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (4)an+1=can+kn+b(c≠1,ckb≠0)可化归为an+1+ (n+1)+ + =c  ,当a1+ + ≠0时,数列 是等比数 列. (5)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1- =c 或将递推公式两边同除以dn+1化为 (1)中类型或两边同除以cn+1,累加求通项.若c=d,则可化归为 - = ,即 为等差数列. (6)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1- =c +dn,即(5)中类型. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式. 思路点拨    思路一:引入参数λ,使an+1+λ=3(an+λ),则数列{an+λ}为等比数列. 思路二:通过观察递推公式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式. 解析    解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ, 又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1). ∵a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列, ∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1. 解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),两式相减,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2). ∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,∴{an+1-an}是首项为4,公比为3的等比数列,∴an+1-an=4×3n-1. ∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式. 解析    由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即 =3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3为 首项,3为公比的等比数列, 所以an+1+an=3×3n-1=3n,则 + · = . 不妨令cn= ,则cn+1+ cn= , 所以cn+1- =-  ,即 =- , 又c1- = - = ,所以数列 是首项为 ,公比为- 的等比数列, 所以 - =cn- = × , 所以an= . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$