4.2.2 等差数列的前n项和公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

知识点 1 等差数列的前n项和公式 4.2.2 等差数列的前n项和公式 必备知识 清单破 1.已知首项、末项与项数,则Sn= . 2.已知首项、公差与项数,则Sn=na1+ d. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的 图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y= x2+  x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 知识点 2 等差数列前n项和公式的函数特征 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.公差为d的等差数列中依次k(k∈N*)项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列(分段 和成等差). 2.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. (1)若项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0); (2)若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0). 3.若{an}是公差为d的等差数列,则 是首项为a1,公差为 的等差数列. 4.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则 = , = · (bn≠0,T2n-1≠0). 5.在等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*),则Sm+n=-(m+n). 知识点 3 等差数列前n 项和的性质 6.在等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n,m,n∈N*),则Sm+n=0. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.等差数列的前n项和公式一定是关于n的常数项为0的二次函数吗? 2.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列吗? 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6是等差数列吗? 4.等差数列{an}的前n项和Sn一定满足Sn=n 吗? 5.当n≥3,n∈N*时,等差数列{an}的前n项和可以表示为Sn= 吗? 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当公差d=0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数;当公差d≠0时,等差数 列的前n项和公式是关于n的常数项为0的二次函数. 2.不是.{an}是除第一项以外,其他各项差为2的数列. 3.不一定.S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,只有当公差为零时,S2,S4,S6才构成等差数列. 4.不一定.当项数n为奇数时满足Sn=n ;当项数n为偶数时中间项有两项, 不存在,不满足Sn =n . 5.可以.根据等差数列的性质可得a1+an=a3+an-2,所以等差数列{an}的前n项和可以表示为Sn=  (n≥3,n∈N*). 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 等差数列前n项和公式及其应用 　　等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解决等差数列问题 的一般思路为:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解. 　　当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意结合等差数 列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得  解得  ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得  ∴a1+a10=42, 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. 又an-3=45, ∴Sn= = = =510,∴n=20. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   　　在解决与等差数列前n项和性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、 化难为易、事半功倍的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: (1)整体思路:利用公式Sn= 求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求 出A,B即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算. (3)利用相关性质中的结论进行求解. 定点 2 等差数列前n项和性质及其应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项和S3m; (2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 = ,求 的值. 思路点拨    (1)思路一:设数列的公差为d,求出m2d,ma1- ,整体代入求解.思路二、三利用等 差数列前n项和的性质求解. (2)直接利用等差数列前n项和的性质求解. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d. 由题意得  整理可得  ∴S3m=3ma1+ d =3 + =3×10+ ×40=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 解法三:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列,∴ = + , 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. (2)解法一: = = = = = . 解法二: = = = = . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下: (1)函数法:用配方法转化为求二次函数的最大(小)值问题,解题时注意n∈N*. (2)利用 或 寻找正、负项的分界点,当a1>0,d<0时,正项和最大,当a1<0,d>0时,负 项和最小,进而得到Sn的最大(小)值. (3)一般地,当a1>0,且Sp=Sq(p≠q)时,若p+q为偶数,则当n= 时,Sn最大;若p+q为奇数,则当n=  时,Sn最大. 定点 3 等差数列前n项和的最大(小)值的求法 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n项和Sn的最大值. 解析    解法一:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,a1=25, 所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2. 所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 解法二:设Sn=An2+Bn,A≠0. 因为S8=S18,S1=a1=25, 所以 解得  所以Sn=-n2+26n=-(n-13)2+169, 所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解法三:同解法一,求出公差d=-2, 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 由 得  因为n∈N*,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为 =169. 解法四:设等差数列{an}的公差为d. 因为S8=S18,所以S18-S8=0, 即a9+a10+…+a18=0. 结合等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0,所以d<0,所以a13>0,a14<0. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 所以当n=13时,Sn有最大值. 由a13+a14=0,得a1+12d+a1+13d=0,解得d=-2,所以S13=13×25+ ×(-2)=169, 所以Sn的最大值为169. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   1.倒序相加求和 　　在一个数列中,如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,那么可采用把正 着写求和与倒着写求和的两个式子相加,就得到一个常数列的和,这种求和方法叫倒序相加 法.课本中等差数列前n项和公式的推导过程就采用了倒序相加求和. 2.裂项相消求和 (1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,在求和时中间的一些项可以 相互抵消,从而达到求和的目的. (2)常见的裂项技巧: ①已知{an}是等差数列,其公差为d(d≠0),则bn= = × . 定点 4 与等差数列有关的数列求和 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ②an=  =  . ③an= = - . ④an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)= +log2 图象上的任意两点. (1)当x1+x2=1时,求f(x1)+f(x2)的值; (2)设Sn=f +f +…+f +f ,其中n∈N*,求Sn; (3)对于(2)中的Sn,已知an= ,其中n∈N*,设Tn为数列{an}的前n项和,求证: ≤Tn< . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得f(x1)+f(x2)= +log2 + +log2 =1+log2 =1+log2  =1+log21=1. (2)∵ + = + = + =…=1, ∴f +f =f +f =f +f =…=1, ∵Sn=f +f +…+f +f ,① ∴Sn=f +f +…+f +f ,② 由①+②,得2Sn= + +…+ f +f  +  , 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴2Sn=n,故Sn= . (3)证明:由(2)及已知得an= = = , ∵an>0,∴Tn<Tn+1,∴{Tn}是递增数列, ∴Tn≥T1=a1= . ∵an= < = =2 , ∴Tn= + + +…+ + <2  =2  第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 =2 < . 综上, ≤Tn< . 方法技巧     (n∈N*)的常见放缩形式: (1) < = - (n≥2); (2) > = - ; (3) = < =2 . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$