4.2.1 等差数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2　等差数列 知识点 1 等差数列 4.2.1　等差数列的概念 必备知识 清单破 文字语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差 递推公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 　    a,A,b成等差数列⇔2A=a+b⇔A= ,这时A叫做a与b的等差中项. 知识点 2 等差中项 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 2.等差数列通项公式的变形及应用 (1)变形 　    an=am+(n-m)d(m,n∈N*); (2)应用 ①d= (m,n∈N*,m≠n); ②n= +1(n∈N*,d≠0). 知识点 3 等差数列的通项公式 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1 -d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b, f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b,……构成一个首项为(k+b),公差为k的等差数列{nk+b}. 2.等差数列的通项公式与一次函数的异同点 知识点 4 等差数列的通项公式与一次函数的关系 等差数列的通项公式 一次函数 解析式 an=kn+b(n∈N*) f(x)=kx+b(k≠0) 不同点 定义域为N*,图象是一系列孤立的点(在直线f(x)=kx+b上) 定义域为R,图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式,等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am+an=2ap. 2.等差数列{an}的公差为d,则d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列. 3.若等差数列{an},{bn}的公差分别为d,d',则有 知识点 5 等差数列的常用性质 数列 结论 {c+an}(c为任一常数) 公差为d的等差数列 {c·an}(c为任一常数) 公差为cd的等差数列 {pan+qbn}(p,q为常数) 公差为pd+qd'的等差数列 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 4.从等差数列中每隔一定的距离抽取一项组成的数列仍为等差数列.例如:若{an}是公差为d 的等差数列,则an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差数列,且公差为kd,k∈N*. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列吗? 2.若三个数a,b,c满足a+c=2b,则a,b,c一定是等差数列吗? 3.若数列{an}的通项公式为an=kn+b(k,b为常数),则{an}一定是公差为k的等差数列吗? 4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式一定是关于n的一次函数吗? 5.等差数列中必有a2+a3=a5吗? 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.差是同一个常数时才是等差数列,在这里强调同一个常数. 2.一定是等差数列.由a+c=2b,可得b-a=c-b,由等差数列的定义知a,b,c一定是等差数列. 3.一定是.若an=kn+b,则an+1=k(n+1)+b=kn+b+k,所以an+1-an=k(k为常数),所以{an}一定是公差为k 的等差数列. 4.不一定.当公差不为零时,通项公式是关于n的一次函数;当公差为零时,等差数列{an}为常数 列,其通项公式不是关于n的一次函数. 5.不是.在使用等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq时,要注意等式两边项 的个数必须相同,一般情况下,a2+a3=a1+a4≠a5. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 等差数列的判定(证明)   判定一个数列是等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 　　其中,定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据,通项公式法只能在小题 中应用,不能作为解答题中判定等差数列的依据. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),证明数列{an}为等差数列. 思路点拨    先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明. 证明    由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1, 两式相减并整理,得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*). 由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1, 因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),且a3=95. (1)求a1,a2的值; (2)是否存在实数t,使得bn= (an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在,请 说明理由. 思路点拨    (1)利用递推关系逐项求解.(2)思路一:利用等差数列的定义计算bn-bn-1(n≥2),若存 在实数t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列,否则不存在.思路二:假设存在实数t,使得{bn}为等 差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值验证即可. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5. (2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N*), ∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- . 要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=- , ∴存在t=- ,使得{bn}为等差数列. 解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,① 由(1)及题意知,a1=5,a2=23,a3=95, ∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t), 代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t), 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解得t=- ,此时bn=  . 检验:bn+1-bn=  -   =  -   = an+1- × - an+ × =1,是常数, 故存在t=- ,使得{bn}是以1为公差的等差数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   1.求等差数列通项公式的一般思路 (1)方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可得出等差数列的通项公式. (2)利用等差数列通项公式的变形:已知等差数列中的两项时,可利用d= (n,m∈N*,m≠n) 求出公差d,即可得出等差数列的通项公式. 2.设等差数列中项的方法 (1)通项公式法,即an=a1+(n-1)d. (2)对称设法.若所给等差数列有2n(n∈N*)项,则可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n- 1)d,数列的公差为2d;若所给等差数列有(2n+1)(n∈N*)项,则可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…, a+(n-1)d,a+nd,数列的公差为d. 定点 2 等差数列通项公式的求解及应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知等差数列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求数列{an}的通项公式. 解析    解法一:由题意得   解得 或  ∵d>0,∴a1=-8,d=2, ∴数列{an}的通项公式为an=-8+(n-1)×2=2n-10. 解法二:由题意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,则  解得 或  ∵d>0,∴a2=-6,a6=2,故d= =2, 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴数列{an}的通项公式为an=-6+(n-2)×2=2n-10. 解法三:由解法二知a4=-2, 则a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2. ∵d>0,∴d=2,∴数列{an}的通项公式为an=-2+(n-4)×2=2n-10. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数. 思路点拨    已知四个数成等差数列,常常设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,再结合题意列方程 组求解. 解析    设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则  解得 或  ∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   　　当已知数列{an}不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列,利用等差数列的通项公式 求出包含an的关系式,进而求出an.将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下: (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列. (3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列. (4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. (5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列. 定点 3 构造等差数列求数列的通项公式 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知各项均不为零的数列{an}满足 = an+1(n∈N*),a1=1.证明:数列 为等差数 列,并求数列{an}的通项公式. 思路点拨    观察式子的结构特征,等式两边取倒数构造等差数列,进而求通项公式. 解析    由 = an+1两边取倒数得 = ,∴ + = ,即 - = , ∴ 是首项为 =1,公差为 的等差数列, ∴ =1+(n-1)× = ,∴an= . 名师点睛    构造等差数列求通项公式时,需要认真观察给定式子的结构,记住常见的构造类 型,做到熟能生巧,如本题中所给递推公式为分式形式,则考虑用取倒数的方法构造等差数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   　　运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但使用时要注意性 质的限制条件,若不能用性质,则化基本量求解. 定点 4 等差数列性质的应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　在公差为d的等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=16,a14+a15+a16≥53,则d的取值范围为　    　    . 思路点拨    由等差数列的性质对式子进行变形,求得a2,a15,进而求出d的取值范围. 解析    因为a1+a2+a3=3a2=16,a14+a15+a16=3a15≥53,所以a2= ,a15≥ , 所以d= = ≥ . 故d的取值范围为 . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$