4.1 数列的概念（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.1 数列的概念 知识点 1 数列的概念 必备知识 清单破 1.概念 　　按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的 第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,也叫做首项. 2.表示 {an}表示一个数列,an表示数列中的第n项,其中n∈N*. 3.数列的分类 (1)按项数可分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1<an)、常数列(an+1=an)、摆动数列(有些项满足an+1>an,有些项满足 an+1<an),其中n∈N*. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 4.数列与函数的关系 　　数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n),当 自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1), f(2),…, f(n),…就是数列{an}. 反过来,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1), f(2),…, f(n),…构成了一个数列{f(n)}. 与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.通项公式 　　如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个 式子叫做这个数列的通项公式,通项公式反映了项与序号之间的关系. 2.递推公式 　　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做 这个数列的递推公式.递推公式反映了项与项之间的关系. 知识点 2 数列的通项公式与递推公式 注意    (1)不是所有的数列都有通项公式和递推公式. (2)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.数列的前n项和 　　我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an. 2.数列中an与Sn的关系 　　当n=1时,S1=a1,当n≥2时,Sn-1=a1+a2+…+an-1,则有an=  知识点 3 数列的前n项和 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.符号an和{an}表示的意思相同吗? 2.1,1,1,1,1是数列吗? 3.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗? 4.S2n是表示数列{an}中所有偶数项的和吗? 5.已知数列{an},{bn},{cn}满足an= bn= ,cn= ,其中n∈N*,那么这三个数 列是同一个数列吗? 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不相同.an表示数列{an}中的第n项或通项,而{an}表示整个数列. 2.是.这是一个常数列. 3.不是.数列中的数是有序的,当顺序不同时,便不是同一个数列. 4.不是.S2n表示数列{an}中前2n项的和,即S2n=a1+a2+…+a2n. 5.是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,故这三个数列是同一个数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 求数列的通项公式 关键能力 定点破 根据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 (1)从下面4个角度观察数列的前几项: ①各项的符号特征; ②各项能否拆分,以及拆分后的特征; ③分式的分子、分母的特征; ④相邻项的变化规律. (2)寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下: ①统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都 化成分数、根式等; ②分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号之间的函数解析式; 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n+1或(-1)n来表 示; ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出 的各项统一化成某种形式. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　根据下列数列的前几项写出它的一个通项公式. (1) ,2, ,8,…; (2)1 ,2 ,3 ,4 ,…; (3)1,0, ,0, ,0,…; (4)5,55,555,5 555,…; (5)- , ,- , ,…. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将数列中的各项都统一成分数的形式,为 , , , ,…,所以它的一个通项公式为an = ,n∈N*. (2)将数列的前4项拆分为1+ ,2+ ,3+ ,4+ ,观察可得数列的一个通项公式为an=n+ ,n∈N*. (3)数列的偶数项为0,奇数项为 ,因此数列的一个通项公式为an= n∈N*. (4)数列中的各项可化成 ×9, ×99, ×999, ×9 999,…,即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),…,所以数列的一个通项公式为an= ×(10n-1),n∈N*. (5)将数列中的各项变形得- , ,- , ,…,观察可得数列的一个通项公式为an= , n∈N*. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.判断数列单调性的方法 (1)转化为函数,利用函数的性质求解; (2)作差法:判断任意相邻两项的差an+1-an与0的大小关系; (3)作商法:当数列各项非零且同号时,判断任意相邻两项的商 与1的大小关系. 2.求数列中的最大(或最小)项的方法 (1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项. (2)利用 (n≥2,n∈N*)求数列中的最大项an;利用 (n≥2,n∈N*)求数列中的最 小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可. 定点 2 数列与函数的关系 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　在数列{an}中,an=n2+λn,n∈N*. (1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性; (2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围. 思路点拨    (1)思路一:运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断数列{an}的单调性.思路二:利 用二次函数的性质求解. (2)由a7是最小项列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6, 所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6. 当1≤n≤3,n∈N*时,an+1-an≤0,即an+1≤an,{an}单调递减; 当n≥4,n∈N*时,an+1-an>0,即an+1>an,{an}单调递增. 解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - . 易知函数f(x)= - 的图象的对称轴为直线x= , 所以由二次函数的性质可知, 当1≤n≤3,n∈N*时,{an}单调递减;当n≥4,n∈N*时,{an}单调递增. (2)由题意得  第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 即  解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13]. 易错警示    在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N*(或其有限子集). 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项时,首先要弄清公式中各部分之间 的关系,然后依次代入计算即可. 2.求数列的某一项时,对于通项公式,可以通过将序号代入直接求解,而对于递推公式,则必须 通过逐项计算求出该项. 3.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),宜采用累加法或迭代法; ②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),宜采用累乘法或迭代法; ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 定点 3 利用数列的递推关系解决相关数列问题 　　利用累加法或累乘法求通项公式时,需检验a1的值是否符合通项公式. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,则a2 022的值为 (　    ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.-4 思路点拨    先利用递推公式求出数列{an}的前几项,再找规律求a2 022的值. 解析    因为数列{an}满足2an+1=4+anan+1,且a3=1,所以2a3=4+a2a3,2a4=4+a3a4, 所以a2=-2,a4=4,又2a2=4+a1a2,2a5=4+a4a5,所以a1=4,a5=-2, 又2a6=4+a5a6,所以a6=1,所以a1=4,a2=-2,a3=1,a4=4,a5=-2,a6=1,……, 所以数列{an}是周期为3的周期数列, 所以a2 022=a674×3=a3=1.故选A. A 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,则an= (　    ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.  B 解析    解法一(归纳法):由已知得a2=1+1- = ,a3= + - = ,a4= + - = ,a5= + - = ,… …,观察可得数列的一个通项公式为an= (n∈N*). 解法二(迭代法):由已知得a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),则an=a1+1- + -  +…+ - =2- = (n≥2).又a1=1也符合上式,所以an= (n∈N*). 解法三(累加法):由已知得an+1-an= - ,则a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1= -  (n≥2),以上各式相加得an-a1=1- + - + - +…+ - =1- = (n≥2). 又a1=1,所以an= (n∈N*). 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结    用累加法求数列{an}的通项公式时,当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求{an}的通项公式. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例3　在数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. 解析    因为a1=1,an= an-1(n≥2), 所以 = ,则an= · · ·…· · ·a1= · · ·…· · ·1= .又a1=1也符合上 式,所以an= . 规律总结    用累乘法求数列{an}的通项公式时,当 =g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=  · · ·…· ·a1来求{an}的通项公式. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式的步骤: (1)当n=1时,由a1=S1求出数列的首项; (2)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求出当n≥2时{an}的通项公式; (3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1,否则数列{an} 的通项公式要表示为an=  定点 4 利用Sn与an的关系求数列的通项公式 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,求数列{an}的通项公式. 解析    当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, 显然a1=2不满足上式,故数列{an}的通项公式为an=  第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$