4.3.2 等比数列的前n项和公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）

知识点 1 等比数列的前n 项和公式 4.3.2 等比数列的前n项和公式 必备知识 清单破 　　设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,当q=1时,Sn=na1,当q≠1时,Sn= = . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.当q=1时,Sn=na1,Sn是关于n的正比例函数. 2.当公比q>0且q≠1时,等比数列的前n项和公式Sn= 可以变形为Sn=- ·qn+ , 设A= ,则Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数型函数. 知识点 2 等比数列前n 项和公式的函数特征 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其前n项和公 式可推得Sn有如下性质: (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*. (2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是公比为qk的等比数列,当q=-1,k为偶数时,Sk, S2k,S3k均为0,不能构成等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,则 =q. (4)当q=1时, = ;当q≠±1时, = . 知识点 3 等比数列前n 项和的性质 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.等比数列的前n项和公式一定是关于n的指数型函数吗? 2.若数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(A≠0,q≠0),则数列{an}一定是等比数列吗? 3.若a∈R,则1+a+a2+…+an-1的和为 吗? 4.已知等比数列{an}的公比为 ,则该数列的前100项和是偶数项的和的3倍吗? 5.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍是等比数列吗? 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当公比q=1时,等比数列的前n项和公式是关于n的一次函数,当公比q>0且q≠1时,等 比数列的前n项和公式是关于n的指数型函数. 2.不一定.只有当A=-B时才是等比数列. 3.不是.当a=1时,1+a+a2+…+an-1=n. 4.是.因为奇数项的和是偶数项的和的2倍,所以所有项的和是偶数项的和的3倍. 5.不是.当公比q=-1时,S10=S20=S30=0,所以S10,S20-S10,S30-S20,…不能构成等比数列,只有满足q≠-1 时,S10,S20-S10,S30-S20,…才会构成等比数列. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 等比数列前n项和公式及其应用   　　在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个量,已知其中三个量就可利用通项公式和前n项 和公式求出另外两个量. (1)当条件与结论间的联系不明显时,可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解. (2)等比数列的前n项和公式分q=1与q≠1两种情况,因此当公比未知时,要对公比进行分类讨论. (3)q≠1时,公式Sn= 与Sn= 是等价的,利用an=a1qn-1可以实现它们之间的相互转化. 当已知a1,q与n时,用Sn= 较方便;当已知a1,q与an时,用Sn= 较方便. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn. (1)若a1=8,an= ,Sn= ,求n; (2)若S3= ,S6= ,求an及Sn; (3)若a6-a4=24,a3·a5=64,求S8; (4)若a3= ,S3= ,求a1. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)显然q≠1, 由Sn= = ,得q= . 又an=a1qn-1,∴ =8× ,∴n=6. (2)解法一:由S6≠2S3知q≠1, 则  ②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2. 将q=2代入①得a1= , 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, Sn= =2n-1- . 解法二:由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,得1+q3= =9,∴q3=8,∴ q=2. 将q=2代入S3= = 得a1= , ∴an=a1qn-1= ×2n-1=2n-2, Sn= =2n-1- . (3)解法一:由题意得  第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 化简得  ③÷④,得q2-1=3(负值舍去), ∴q2=4,∴q=2或q=-2. 当q=2时,代入③得a1=1, ∴S8= =255; 当q=-2时,代入③得a1=-1, ∴S8= =85. 综上可知,S8=255或85. 解法二:由等比数列的性质得a3·a5= =64,∴a4=±8. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 当a4=8时,∵a6-a4=24, ∴a6=32, ∴q2= =4,∴q=±2. 当a4=-8时,∵a6-a4=24, ∴a6=16, ∴q2= =-2,无解. 故q=±2,a4=8. 当q=2时,a1= =1,S8= =255; 当q=-2时,a1= =-1,S8= =85. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 综上可知,S8=255或85. (4)当q=1时,a1=a2=a3= ,满足S3= . 当q≠1时,由题意得  解得  综上可知,a1= 或6. 规律总结    对于等比数列中基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相 除的方法进行消元,有时也会用到整体代换. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　根据等比数列的定义和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在等比数 列前n项和的有关问题中,把握好等比数列前n项和性质的使用条件,恰当运用性质能帮助我 们简化运算,快速解题. 定点 2 等比数列前n项和性质及其应用 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例    已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(　    ) A.80　　　B.30　　　C.26　　　D.16 B 思路点拨    思路一:由Sn,S3n的值求出a1,q 求出S4n. 思路二:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列 求出S4n. 思路三:令n=1,由S1=2,S3=14求出q 求出S4n. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:设正项等比数列{an}的公比为q(q>0), ∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1. 由已知得,Sn= =2①, S3n= =14②,  ,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0, ∵q>0,∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= . ∴a1= =2( -1), ∴S4n= = =2×15=30. 解法二:由题意知数列{an}的公比大于0,故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列,由Sn=2,S3n=14, 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 得(S2n-2)2=2×(14-S2n),即 -2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4, ∵an>0,∴S2n=6. 又∵ = =2,∴S4n-S3n=Sn·23=16, ∴S4n=S3n+16=30. 解法三:设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),注意到四个选项都是具体的数值, ∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1, 由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3= =14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去). ∴S4= =2×15=30. 解后反思    通过对比三种解题方法,可以发现:解法一采用基本量法,思路简单,但运算量较 大;解法二应用等比数列前n项和的性质,简化运算,且思路清晰;解法三采用特殊值法,使问题 简单化. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.错位相减法 　　已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,由这两个数列中项数相同的项的乘积组成的 新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘{bn}的公比q(注意q≠1这一 前提,如果不能确定q,需分情况讨论),并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转 化为特殊数列的求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法,错位的目的在于使幂指数 相同的项对应,便于找出两式相减的结果,两式作差的结果一般除第一项和最后一项外,中间 (n-1)项构成等比数列. 2.分组求和法 　　分组求和法适用于解决数列的项可分成两部分或几部分,且每部分可直接求和的数列求 和问题. 定点 3 与等比数列有关的数列求和 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3an=6n+4(n∈N*). (1)求证:数列{an-3}是等比数列; (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解析    (1)证明:当n=1时,2S1+3a1=6+4,∴a1=2, 当n≥2时,有  两式相减得2an+3an-3an-1=6, ∴5an-3an-1=6,故an-3= (an-1-3), 又a1-3=-1≠0,故 = , ∴数列{an-3}是以-1为首项, 为公比的等比数列. (2)由(1)可得an-3=-1× ,∴an=3- ,∴nan=3n-n· , 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 令Wn=1× +2× +3× +…+n· ,① 两边同乘 ,得 Wn= +2× +3× +…+(n-1)· +n· ,② 由①-②得 Wn=1+ + +…+ -n· = -n· = - · , ∴Wn= - · , 则Tn=3(1+2+3+…+n)-Wn= -Wn= + · - . 方法技巧    由两式相减得到的等比数列部分在求和时,为避免出现项数错误,通常利用公式Sn = 求和,a1为等比数列的首项,an为等比数列的末项. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念   　　解决等差数列与等比数列综合问题的关键在于用好它们的有关知识,理顺两个数列间的 关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中的所有项. 定点 4 等差数列、等比数列的综合应用问题 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn= 数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 由题意得 解得  ∴an=2n+1,bn=2n-1. (2)由(1)知,Sn= =n(n+2), ∴cn=  ∴T2n= +(21+23+25+…+22n-1) =1- + = - . 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 学科素养 情境破 素养 通过数列在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养 素养解读 　　数列在实际问题中有广泛的应用,在此类问题中,建立数列模型是关键,在建立数列模型 的过程中发展数学建模的核心素养,然后利用数列的通项公式、前n项和公式、递推公式等 知识求解,在解模过程中发展逻辑推理的核心素养. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题    从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业. 根据规划,2024年投入资金1 000万元,以后每年投入比上年减少10%.预测显示,2024年当地旅 游业收入为300万元,以后每年收入比上年增加20万元.根据预测,解答以下问题: (1)从2024年至2033年,该地十年的旅游业收入共计多少万元? (2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入? (参考数据:0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.150 09,0.919≈0.135 09) 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取    ①由投入资金的相关信息可建立等比数列模型;②由旅游业收入的相关信息可建 立等差数列模型. 解题思路    (1)以2024年为第1年,设第n年旅游业收入为an万元,则数列{an}是以300为首项,20 为公差的等差数列,设其前n项和为An, 则an=300+20(n-1)=20n+280, An=300n+ ×20=10n2+290n, 所以A10=10×102+290×10=3 900. 因此从2024年至2033年,该地十年的旅游业收入共计3 900万元. (2)以2024年为第1年,设第n年投入资金为bn万元,则数列{bn}是以1 000为首项,0.9为公比的等 比数列,设其前n项和为Bn, 则bn=1 000·0.9n-1, 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 Bn= =10 000(1-0.9n), 将收入与投入的前n项和作差构造新数列,再结合数列的单调性求解. 则题目转化为求使An>Bn的正整数n的最小值. 设cn=An-Bn=10n2+290n-10 000(1-0.9n),则cn+1-cn=an+1-bn+1=300+20n-1 000·0.9n, 令f(n)=300+20n-1 000·0.9n(n∈N*), 则f(n)单调递增,且f(7)<0, f(8)>0, 故c1>c2>…>c8,c8<c9<c10<…, 又c1=-700<0,c18≈-39.1<0,c19≈470.9>0, 因此该地从2042年起旅游业总收入将首次超过总投入. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 应用数列知识解决实际问题的一般思路 (1)建模.根据题设条件,建立数列模型: ①分析实际问题的结构特征; ②找出所含元素的数量关系; ③确定为何种数列模型. (2)解模.利用相关的数列知识加以解决: ①分清首项、公差(公比)、项数等; ②分清是求an还是求Sn; ③选用适当的方法求解. (3)还原.把数学问题的解代回实际问题中,根据实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际 问题的解. 第四章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$