14.3 第2课时 角平分线的判定（课件+教案+导学案）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第2课时 角平分线的判定 14.3 角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 人教版八年级(上) 1 1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点) 2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点) 3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力 素养目标 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ 情境导入 思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 探究点一： 角平分线的判定 新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 这个结论正确吗？ A O B P D E 新知探究 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等). 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 总结：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. ∴△ABC 的三条角平分线交于一点. 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 【归纳总结】 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 练一练 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° A 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 1. 如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝ 时，OD是∠AOB的平分线. 第1题图 3　 当堂反馈 2. 如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分 ∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则 △ABC的面积是 ⁠. 第2题图 18　 当堂反馈 3. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4， BC＝6，若点D到边AB的距离为2.4， ＝7.2，则∠ABD＝ °. 45　 当堂反馈 4. 如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC. 证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. ∵△DCE的面积与△DBF的面积相等， ∴ ＝ . ∵CE＝BF， ∴DN＝DM. ∴AD平分∠BAC. 当堂反馈 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 课堂小结 $$ 14.3　角的平分线 第2课时　角的平分线的判定 1.探索并证明角平分线的判定定理. 2.感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力. 重点：探索并证明角平分线的判定定理及其运用. 难点：区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. 知识链接 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？ 创设情境 探究点一：角的平分线的判定 思考：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 新结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 探索：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论. 这个结论成立.证明过程如下： 如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：如图，经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP＝OP，PD＝PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上. 讨论：角的平分线的性质及判定之间的关系和区别是什么？ 角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆. 应用：根据上述结论，请找到知识链接中集贸市场的具体位置. 集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷250＝2个单位长度的位置，如图中点P所示. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE（AAS）.∴DF＝DE. 又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线. 探究点二：三角形三条角平分线的关系 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 思考：想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 由于点P在∠A的内部，而且PD＝PF，所以点P在∠A的平分线上.这说明三角形的三条角平分线交于一点. 1.如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝　3　时，OD是∠AOB的平分线. 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是　18　. 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，若点D到边AB的距离为2.4，S△BCD＝7.2，则∠ABD＝　45　°. 4.如图，已知BD＝CD，BD⊥AC于点F，CD⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上. 证明：∵BD⊥AC，CD⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上. 5.如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC. 证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. ∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴BF·DM＝CE·DN. ∵CE＝BF，∴DM＝DN.∴AD平分∠BAC. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 全等三角形 14.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 【素养目标】 1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点) 2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点) 3. 感受互逆的数学思想,发展推理能力和解题能力 【复习导入】 如图,要在 区域建一个风筝主题公园,使它到公路和铁路的距离相等,这个风筝主题公园应建于何处? 在 内是否存在点 ,过点 作 的垂线并交 于点 ,使得 ? 【合作探究】 探究点一、角平分线的判定 思考: 我们知道, 角的平分线上的点到角的两边的距离相等,如果交换这个命题的条件和结论,你能得到什么新结论? 新结论: ___________________________________________. 思考：这个结论正确吗？ 已知: 如图, ,垂足分别是 , . 求证: 点 在 的平分线上. 角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用格式: , 点 在 的平分线上. 回顾导入：如图,要在 区建一个风筝主题公园,使它到公路和铁路的距离相等,并且离公路与铁路交叉处距离为 ,这个风筝主题公园应建在何处? 例1 如图,已知 ,垂足分别为 , 相交于点 . 若 ,求证: 是 的平分线. 角平分线的性质与角平分线的判定： 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知条件 结论 探究点二、三角形三条角平分线的关系 变式1:如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ 例2 如图, 的角平分线 相交于点 . 求证: (1) 点 到三边 的距离相等; (2) 的三条角平分线交于一点. 变式2: 如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点) 【归纳总结】到 三边所在的直线距离相等的点有__________个. 练一练 如图, 是 内一点,且点 到三边 的距离相等,即 ,若 ,则 的度数是 ( ) A. 140° B. C. 120° D. 110° 当堂反馈 1. 如图, 于 , 于 , , 当 时, 是 的平分线. 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图, 的周长是 分别平分 和 于 ,且 ,则 的面积是_________. 3. 如图, 中, , , ,若点 到边 的距离为 2.4 , ,则 . 4. 如图,已知点 分别是 的三边上的点, ,且 的面积与 的面积相等. 求证: 平分 . 参考答案 探究点一: 角平分线的判定 新结论: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明: 作射线 , . 在 Rt 和 Rt 中, ( ). (全等三角形的对应角相等). 点 在 的平分线上. 回顾导入 解: 作夹角的角平分线 ,在射线 上截取 , 则点 即为所求. 例1 证明: . 在 和 中, (AAS). .又 ,∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点二: 三角形三条角平分线的关系 例2 证明: (1) 过点 作 , ,垂足分别为 . 是 的角平分线, 点 在 上, . 同理, . .即点 到三边 的距离相等. (2) 由 (1) 得,点 到边 的距离相等, 点 在 的平分线上. 的三条角平分线交于一点. 总结:三角形的三条角平分线交于一点, 并且这点到三边的距离相等. 【归纳总结】 4个. 练一练 A 当堂反馈 1. 2. 18 3. 4. 证明: 如图,过 于 于 . 的面积与 的面积相等, , . 平分 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$