1.1第1课 菱形的性质 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 情境&导入 性质： 边：平行四边形的对边平行且相等. 角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. 对称性：平行四边形是中心对称图形. 下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 情境&导入 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 探索&交流 菱形的定义及其性质 1— 问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 平行四边形 菱形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 学习&目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.体会菱形的轴对称性，经历折纸等活动探索菱形的性质； 3.证明性质并能够运用性质解决问题。 问题2: （1）菱形与平行四边形有什么关系？ 总结：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形. 菱形：对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 中心对称图形。 探索&交流 （2）从定义出发，想一想菱形还会具有哪些性质呢？ 菱形的四条边都相等. 探索&交流 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A D C B O 菱形的对角线相互垂直. 菱形的每条对角线平分一组对角. 你能不能证明这些猜想呢？ 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD； 证明:（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD 探索&交流 证明一：菱形的四条边都相等. 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证: （2）AC⊥BD； 证明:（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC（菱形的邻边相等） OA=OC. ∴BO⊥AC，即BD⊥AC （等腰三角形的“三线合一” ）. 探索&交流 证明二：菱形的对角线相互垂直. 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证: （3）BD平分∠ABC且BD平分∠ADC； （4）AC平分∠BAD且AC平分∠BCD。 证明:（3）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC（菱形的邻边相等） OA=OC. ∴BO平分∠ABC，即BD平分∠ABC（等腰三角形的“三线合一” ）. 探索&交流 证明三：菱形的每条对角线平分一组对角. 同理可证，BD平分∠ADC （4）同上可证 菱形的特殊性质 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 探索&交流 例1. 利用菱形的性质填空.（P4变式2） （1）边：菱形的四条边 .菱形的两组对边都互相平行. （2）角：菱形的对角 ，菱形的邻角互补. （3）对角线：菱形的对角线相互 .且每一条对角线平分一组 对角. （4）对称性：菱形既是 对称图形又是 对称图形. 相等　 相等　 垂直平分　 中心　 轴　 例2. 下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 每条对角线平分一组对角 D. 对角互补 C P4变式1 P4例1 （1）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 下列说 法：①AD∥BC；②OA＝OC；③AC⊥BD；④AC＝BD. 其中正确的 是 （填序号）. ①②③　 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，OA＝OC，AC⊥BD， ∴①②③的说法正确，④的说法错误.故答案为①②③. （2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形. 四　 直角　 探索&交流 菱形是轴对称图形； 有两条对称轴； 两条对称轴互相垂直。 问题3: 菱形是不是轴对称图形呢？若是，指出它的对称轴。 总结： 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有两条对称轴 例3 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，CE为边BC的延长线，在 ∠DCE内部作射线CM，且∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F. （1）求∠BDC的度数； 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝70°， ∴∠BDC＝ ∠ADC＝35°. P4例2 （2）若DF＝ ，求对角线BD的长. 解：（2）如答图，连接AC交BD于点H. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，∴BH＝DH，AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠DHC＝90°，∠DCE＝∠ABC＝70°.∵∠ECM＝15°，∴∠DCF＝∠DCE－∠ECM＝70°－15°＝55°. ∵∠BDC＝35°，∴∠DCH＝90°－35°＝55°， ∴∠DCH＝∠DCF. 又∵DF⊥CM，DH⊥AC， ∴DH＝DF＝ ，∴BD＝2DH＝2 . 答图 答图 变式 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2. （1）求菱形ABCD的周长； 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2， 则4×2＝8，∴菱形ABCD的周长为8. （2）若AC＝2，求BD的长. 解：（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2， ∴AC⊥BD，AO＝OC＝1，OB＝OD， ∴BO＝ ＝ ＝ ， ∴BD＝2 . P5变式1 （1）求证：CE＝CF； 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD. ∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝ AB，DF＝ AD， ∴BE＝DF. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE＝CF. 例4 如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF. P5例3 （2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证： CH＝AH＋AB. 例4 如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF. P5例3 ∵F为AD的中点，且AF∥BC，∴AG＝AB. ∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠FCD，∴∠ECB＝∠G. ∵∠CHB＝2∠ECB， ∴∠CHB＝2∠G. ∵∠CHB＝∠G＋∠HCG， ∴∠G＝∠HCG，∴GH＝CH， ∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB. 答图 证明：（2）如答图，延长BA与CF，交于点G. ∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G＝∠FCD. 答图 变式 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且AE＝CF. 求证： （1）△ADE≌△CDF； 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF . （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，又∵AE＝CF，∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE. （2）∠BEF＝∠BFE. P5变式2 1. 菱形的定义 有一组邻边 的平行四边形叫做菱形. 2. 菱形的性质 （1）菱形的对边分别 ，四条边 ⁠； （2）两组对角分别 ，邻角 ⁠； （3）对角线 ，每条对角线 ⁠； （4）对称性：菱形既是 ，有 条对称轴是 ⁠ ，又是 ，对称中心为 ⁠ ⁠. 相等　 平行　 相等　 相等　 互补　 互相垂直平分　 平分一组对角　 轴对称图形　 2　 两条对角 线所在的直线　 中心对称图形　 对角线的交 点　 3. 菱形不同于平行四边形的性质（特殊性质）：四条边 ⁠，对角 线 ， ⁠. 相等　 互相垂直　 每条对角线平分一组对角　 小结&反思 $$