第1章 2.1 等差数列的概念及其通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

§2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 基础过关练 题组一　等差数列的概念 1.下列数列不是等差数列的是(　　) A.1,1,1,1,1　　　　　B.4,7,10,13,16 C.,,1,,　　　　　D.-3,-2,-1,1,2 2.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1<a2”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题组二　等差中项 3.若2a+1是a-1与4a-2的等差中项,则实数a的值为(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.5 4.在等差数列{an}中,a3,a5是方程x2-4x+3=0的两实数根,则a4的值为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.±2　　　　D. 5.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z=(　　) A.26　　　　B.29　　　　C.39　　　　D.52 题组三　等差数列的通项公式及其应用 6.在等差数列{an}中,若a4=11,a6=15,则{an}的公差为(　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.3 7.已知数列{an}为等差数列,若a3+a4=12,a4-a2=4,则a9=(　　) A.15　　　　B.16　　　　C.17　　　　D.18 8.在等差数列{an}中,a4=3,a7=9,则a3+a5+a7+a9=　　　　.  9.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则这个数列的公差为　　　　.  10.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n(n∈N+),则实数a=　　　　.  题组四　等差数列的性质及其应用 11.在等差数列{an}中,a3+a7=6,则a2+a8=(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 12.在等差数列{an}中,a3=7,a5+a7=32,则{an}的公差d=(　　) A.5　　　　　B.4　　　　 C.3　　　　　D.2 13.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,一物的影长(单位:尺)依次成等差数列,若立春当日影长为10.5尺,立夏当日影长为4.5尺,则春分当日影长为(　　) A.4.5尺　　　　　B.5尺 C.5.5尺　　　　　D.7.5尺 14.已知等差数列{an}是递减数列,若a1+a2+a3=90,a9>0,则公差d的一个整数取值可以是　　　　.  15.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=　　　　.  能力提升练 题组一　等差数列的通项公式及其应用 1.67是等差数列3,11,19,27,…的(　　) A.第6项　　　　　B.第7项　　　　 C.第8项　　　　　D.第9项 2.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列的不同,高阶等差数列前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.例如“百层球堆垛”:第一层有1个球(a1=1),第二层有3个球(a2=3),第三层有6个球(a3=6),第四层有10个球(a4=10),第五层有15个球(a5=15),……,各层球数之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…即2,3,4,5,…是等差数列.现有一个高阶等差数列,其前6项分别为1,3,6,12,23,41,则该数列的第8项为(　　) A.51　　　　B.68　　　　C.106　　　　D.157 3.已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞) B.(-4,-3) C.(-∞,-5)∪(-4,+∞) D.(-5,-4) 4.(多选题)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an}是等差数列 B.a2k=7-2k(k∈N+) C.a2k-1=12-2k(k∈N+) D.an+an+1=18-3n 5.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80　　　　B.100　　　　C.120　　　　D.143 6.已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16,若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,所得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为　　　　.  7.已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,n∈N+. (1)求a2,a3的值; (2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式. 题组二　等差数列的性质及其应用 8.等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则3a9-a11=(　　) A.42　　　　B.45　　　　C.48　　　　D.51 9.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若∀a,b∈R,都有f=[f(a)+f(b)],则f(2 023)=(　　) A.5　　　　B.9　　　　C.4 023　　　　D.4 049 10.(多选题)已知等差数列{an}为递增数列,且满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有(　　) A.a1+a101>0　　　　　B.a2+a100=0　　　　 C.a3+a100≤0　　　　　D.a51=0 11.(多选题)已知数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列,则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+bn}是递增数列 B.数列{anbn}是递增数列 C.数列{an+bn}是等差数列 D.数列{anbn}不可能是等差数列 12.数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),实数k为常数. ①数列{an}可能是常数列; ②k=1时,数列为等差数列; ③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0); ④k>0时,数列{an}为递减数列. 则以上正确说法的序号是　　　　.  题组三　等差数列的综合应用 13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,书中所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141 14.在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+a2 022+a2 023=40,则+的最小值为　　　　.  15.已知a,b,c分别是Rt△ABC的内角A,B,C的对边,lg a,lg b,lg c成等差数列,且公差d<0,则sin C=　　　.  16.已知一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身构成等差数列,则这个正实数是　　　　.  17.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.D　根据等差数列的定义可知,选项D中的数列不是等差数列.故选D. 2.A　设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1; 反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增. 故“{an}单调递增”是“a1<a2”的充要条件.故选A. 3.D　因为2a+1是a-1与4a-2的等差中项,所以2(2a+1)=a-1+4a-2,解得a=5. 4.A　由根与系数的关系可得a3+a5=4,由题意得a4是a3,a5的等差中项,所以a4==2. 5.C　∵5,x,y,z,21成等差数列, ∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,∴5+21=2y,x+z=2y, ∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39. 6.B　设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=11,a6=a1+5d=15,所以d=2.故选B. 7.C　设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以a9=a1+8d=17,故选C. 8.答案　28 解析　设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以an=a1+(n-1)d=2n-5, 所以a3+a5+a7+a9=1+5+9+13=28. 9.答案　3 解析　设该等差数列为{an},其公差为d, 由题意知,解得d=3. 10.答案　0 解析　∵{an}是等差数列, ∴an是常数函数或关于n的一次函数, 又an=an2+n,∴a=0. 11.C　由等差数列的性质知a2+a8=a3+a7=6.故选C. 12.C　由等差数列的性质及已知得a5+a7=2a6=32, ∴a6=16,∴d==3. 13.D　设这十二节气自冬至日起该物的影长尺数构成的等差数列为{an},由题意得a4=10.5,a10=4.5,则a7=(a4+a10)=7.5.故选D. 14.答案　-3(答案不唯一) 解析　a1+a2+a3=3a2=90,∴a2=30, ∴a9=a2+7d=30+7d>0,即d>-, 又{an}是递减数列,所以-<d<0,故d的整数取值可以是-4,-3,-2,-1. 15.答案　7 解析　因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差数列, 由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,解得a4=4,a3=3. 所以a3+a4=7. 能力提升练 1.D　记此等差数列为{an},其公差为d, 则a1=3,d=11-3=8,所以an=3+8(n-1)=8n-5. 令an=67,则8n-5=67,解得n=9. 2.C　由题意得后一项与前一项之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,a6-a5,…,即2,3,6,11,18,…, 3-2,6-3,11-6,18-11,…即1,3,5,7,…是等差数列, 所以a7=41+(18+9)=68,a8=68+(18+9+11)=106.故选C. 3.D　解法一:依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1, ∴bn==1+. 画出函数y=+1的图象,如图. 结合题意知5<1-a<6,解得-5<a<-4,故选D. 解法二:∵等差数列{an}的首项为a,公差为1, ∴an=a+n-1,∴bn==1+=1+, 若对任意的正整数n都有bn≥b5, 则(bn)min=b5=1+, 结合数列{bn}的增减性可知, 即 解得-5<a<-4.故选D. 4.BC　由an-an+2=2,a1=10得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确; 由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC. 5.C　因为an+1=an+2+1,所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2, 等式两边开方可得=+1,即-=1,所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列, 所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n, 所以a10=102+20=120.故选C. 6.答案　31 解析　设等差数列{an}的公差为d,则d===3, 设在数列{an}每相邻两项之间插入三个数后所得等差数列为{bn},则数列{bn}的公差为=, 又b1=a1=4-3=1,所以bn=1+(n-1)=n+, 所以b41=×41+=31. 7.解析　(1)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6, 同理可得2a3-3a2=12,则2a3=12+3a2,所以a3=15. (2)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1), 得=2,即-=2, 所以数列是首项为=1,公差为2的等差数列, 所以=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n. 8.C　因为a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120,所以a8=24, 所以3a9-a11=a9+2a9-a11=a9+a7+a11-a11=2a8=48, 故选C. 9.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N+, 由f =[f(a)+f(b)] 可得f =, 即2f(n)=f(n-1)+f(n+1)(n∈N+), 所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5,f(3)=9, 所以公差为 =2, 所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故选D. 10.BD　∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0, 且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, ∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0, ∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0, 故B,D正确,A错误. 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0, ∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d, ∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. 故选BD. 11.ACD　∵数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列, ∴设an=p1n+q1(p1>0),bn=p2n+q2(p2>0),其中p1,q1,p2,q2为常数,∴an+bn=(p1+p2)n+q1+q2, ∴an+1+bn+1-(an+bn)=p1+p2>0, ∴数列{an+bn}是等差数列,且为递增数列,故A,C正确; anbn=(p1n+q1)(p2n+q2)=p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2, ∴an+1bn+1-anbn=p1p2(n+1)2+(p1q2+p2q1)(n+1)+q1q2-[p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2]=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1, 由题可知p1p2>0,∴an+1bn+1-anbn=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1不可能为常数,∴数列{anbn}不可能是等差数列,故D正确; 不妨令an=n-2,bn=n-3,则a1b1=2,a2b2=0,a3b3=0,∴数列{anbn}不是递增数列,故B错误. 故选ACD. 12.答案　①②④ 解析　当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,an+1=,整理得-=1,所以数列为等差数列,故②正确;a3====,若a3>a1,则>1,解得-1<k<0,故③错误;令n=3,得a4==,以此类推,得an=,由k>0得an+1<an,所以数列{an}为递减数列,故④正确. 13.D　设该高阶等差数列的第8项为x, 根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项再得到一个新数列,此时便得到了一个等差数列,记x与95的差为y,如图: 由图可得则 故选D. 解题模板　解数列的新定义问题,关键是准确把握新定义的含义,再依题意利用数列的有关性质求解. 14.答案　 解析　a1+a2+a2 022+a2 023=2(a1+a2 023)=40,∴a1+a2 023=20,已知an>0, 由基本不等式得+==≥=, 当且仅当a1=a2 023=10时取等号. 15.答案　 解析　由lg a,lg b,lg c成等差数列,且公差d<0,可得lg a-lg b=lg b-lg c>0,所以a>b>c,且=,所以b2=ac,角A是Rt△ABC的直角,故b2+c2=a2,即ac+c2=a2,即+=1,所以sin C+sin 2C=1,解得sin C=或sin C=(不符合题意,舍去). 16.答案　或 解析　设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N),则这个正实数为x+y. 由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x, 当y=0时,x=0,x+y=0,不符合要求;当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=;当y≥3时,x=≥1,不符合要求. 综上所述,这个正实数是或. 17.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+). 因为=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=(n∈N+). (3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立. 令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可. 因为f(n+1)-f(n)=- ==3-, 所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0, 即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(n)min=f(2). 又因为f(2)=,所以λ≤. 所以实数λ的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$