第1章 §5 数学归纳法（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

*§5　数学归纳法 基础过关练 题组一　用数学归纳法证明等式 1.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是(　　) A.2k+1　　　　　B. C.　　　　　D.2(2k+1) 2.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)时,第一步应验证的等式是　　　　　　.  3.用数学归纳法证明…=(n≥2,n∈N+). 题组二　用数学归纳法证明不等式 4.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设(　　) A.n=k≥2时,2k≥k2 B.n=k≥3时,2k≥k2 C.n=k≥4时,2k≥k2 D.n=k≥5时,2k≥k2 5.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)”的过程如下: ①当n=1时,显然命题成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,<k+1,那么当n=k+1时,=<=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题成立. 由①②可知对于任意n∈N+,命题都成立. 已知以上证法是错误的,则错误在于(　　) A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设 B.假设的写法不正确 C.从k到k+1的推理不严谨 D.当n=1时,验证过程不具体 6.已知x>-1且x≠0,用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n>1时,(1+x)n>1+nx”,第一步应验证的不等式为　　　　.  7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时, f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.  8.用数学归纳法证明>对任意n≥n0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应为　　　　.  9.已知数列{an}中,a1=2,an+1=(2-)an+3-,n∈N+. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=,证明:<bn≤a2n-1,n∈N+. 题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 10.正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是(　　) A.+　　　　　B.+ C.-　　　　　D.- 11.观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,……,由此猜测第n(n∈N+)个不等式为　　　　　　　　　.  12. 已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an. (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明. 13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2. (1)求证:f(3)-f(2)=; (2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论. 答案与分层梯度式解析 1.D　从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1). 故选D. 2.答案　1-= 解析　因为n∈N+,所以第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=. 3.证明　当n=2时,左边=1-=,右边==, 左边=右边,所以当n=2时,等式成立. 假设当n=k(k∈N+,k≥2)时等式成立, 即…=, 那么当n=k+1时,·…·=·=·==,即当n=k+1时,等式也成立. 故对任意n≥2,n∈N+,等式恒成立. 4.C　根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C. 5.A　从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求. 6.答案　(1+x)2>1+2x 解析　因为n∈Z且n>1,所以n的初始值为2, 所以第一步应验证的不等式为(1+x)2>1+2x. 易错警示　在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数. 7.答案　++…+ 解析　因为当n=k时, f(2k)=1+++…+, 当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…+++…+, 所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+. 8.答案　3 解析　不等式>即1->1-,即3n>6n+1,当n=1时,3<7,不等式不成立;当n=2时,32<13,不等式不成立;当n=3时,33>19,不等式成立;当n=4时,34>25,不等式成立;当n≥5时,根据指数函数与一次函数的性质可得3n>6n+1.所以第一步证明中的起始值n0应为3. 9.解析　(1)因为an+1=(2-)an+3-, 所以an+1-=(2-)an+3-2, 即an+1-=(2-)an+(-2), 即an+1-=(2-)(an-), 所以数列{an-}是首项为2-,公比为2-的等比数列, 故an-=(2-)(2-)n-1=(2-)n,即{an}的通项公式为an=(2-)n+. (2)证明:(i)当n=1时,因为<2,b1=a1=2,所以<b1≤a1,结论成立. (ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,即<bk≤a2k-1,即0<bk-≤a2k-1-. 当n=k+1时,bk+1-=-==>0, 又<=2-,所以bk+1-=<(bk-)≤(2-)2·(a2k-1-)=a2k+1-,所以当n=k+1时,结论也成立. 根据(i)和(ii)知<bn≤a2n-1,n∈N+恒成立. 10.C　∵a1+a2+a3+…+an=, ∴当n=1时,a1=, 又{an}为正项数列,∴a1=1, 当n=2时,1+a2=,∴a2=-1, 同理可得a3=-,a4=2-,……, 故猜想an=-. 证明:当n=1时,显然成立; 假设当n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立,即ak=-, 则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1==+ak+1 =+ak+1, ∴-ak+1=2⇒ak+1=-. 故当n=k+1时,猜想也成立. 故an=-,∴a2 023=-. 故选C. 11.答案　1+++…+> 解析　由1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可猜测第n个不等式的左边为1+++…+;由,1,,2,,可猜测第n个不等式的右边为. 因此猜测第n个不等式为1+++…+>. 12.解析　(1)令n=2,得a1+a2=3a2,∴a2=a1=. 令n=3,得a1+a2+a3=6a3,∴a3=. 令n=4,得a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=. (2)猜想an=,n∈N+,下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1时,显然结论成立; ②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,即ak=, 则当n=k+1时,Sk=ak=, Sk+1=ak+1, 即Sk+ak+1=ak+1, ∴+ak+1=ak+1, ∴ak+1=,∴ak+1=, ∴当n=k+1时结论也成立. 由①②可知,对一切n∈N+都有an=成立. 13.解析　(1)证明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=, 则f(2)===, f(3)==, 所以f(3)-f(2)=-=. (2)存在. 由f(1)=2, f(2)=,得a=-,b=. 故猜想存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,显然成立. ②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立, 即f(k)=+1, 则当n=k+1时, f(k+1)= == =1+=+1, 即当n=k+1时, f(k+1)=+1成立. 由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)= +1对任意正整数n恒成立. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$