第1章 §1 数列的概念及其函数特性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念　　1.2　数列的函数特性 基础过关练 题组一　对数列概念的理解 1.下列有关数列的说法正确的是(　　) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列 C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} D.数列中的每一项都与它的序号有关 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.数列1,2,3,4,…,n是无穷数列 B.数列{2n+1}的第6项是13 C.若用图象表示数列,则图象是一群孤立的点 D.数列0,2,4,6,…可记为{2n},n∈N+ 题组二　数列的通项公式及应用 3.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为(　　) A.1,0,1,0　　　　　B.0,1,0,1　　　　 C.0,2,0,2　　　　　D.2,0,2,0 4.数列{an}的通项公式为an=其中n∈N+,则a2a3=(　　) A.70　　　　　B.28　　　　 C.20　　　　　D.8 5.数列-1,4,-9,16,-25,…的一个通项公式为(　　) A.an=n2　　　　　 B.an=(-1)n·n2 C.an=(-1)n+1·n2　　　　　 D.an=(-1)n·(n+1)2 6.已知数列{an}的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则a19=(　　) A.200　　　　B.182　　　　C.180　　　　D.181 7.(多选题)下列有关数列的说法正确的是(　　) A.已知数列,,,,,…,按照这个规律,这个数列的第211项为 B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项 C.在数列1,,,2,,…中,第8项是2 D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1 8.分形几何学是数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆圈的个数是(　　) A.89　　　　B.55　　　　C.34　　　　D.144 9.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环,移动的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=(n≤8,n∈N+),则解下5个圆环最少需要移动的次数为(　　) A.7　　　　B.10　　　　C.16　　　　D.31 10.写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2),,,,,…; (3)-1,,-,,…; (4)5,55,555,5 555,…. 11.在数列{an}中,a1=2,a17=66,其通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2 024; (3)2 024是不是数列{an}中的项? 题组三　数列的函数特性 12.下列通项公式满足{an}是递增数列的是(　　) A.an= 　　　　　B.an=1-n　　　　　 C.an=　　　　　D.an=2n2-5n+1 13.已知an=-2n2+9n+3,则数列{an}中的最大项为(　　) A.10　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.14 14.已知数列{an}满足a1=2,an+1=1-,则a2 022=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.1.5 15.已知数列{an}的通项公式为an=4n-102,则从第　　　　项开始,数列中的项都大于零.  16.已知数列{an}的通项公式为an=n+,n∈N+,且{an}为递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　.  17.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,试作出其图象,并判断数列的增减性. 能力提升练 题组一　数列的通项公式及其应用 1.数列2,0,2,0,…的通项公式可以为(　　) A.an=(-1)n+1　　　　　B.an=2-2×(-1)n+1 C.an=2cos[(n-1)π]　　　　　D.an= 2.已知a1=2,an+1=an,则a2 022=(　　) A.506　　　　B.1 011　　　　C.2 022　　　　D.4 044 3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a6=(　　) A.17　　　　B.37　　　　C.107　　　　D.128 4.(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了类似下图所示的形状,后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,……,以此类推.设从上到下各层球数构成数列{an},则　(　　) …… A.a4=9 B.an+1-an=n+1,n∈N+ C.a20=210 D.=anan+2,n∈N+ 5.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　) A.12项　　　　B.13项　　　　C.14项　　　　D.15项 6.若数列{an}的前4项依次是-1,3,-6,10,则数列{an}的一个通项公式可能是　　　　.  7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形个数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  8.已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项,若有,说明是第几项;若没有,请说明理由. 题组二　数列的函数特性 9.已知数列{bn}满足b1=1,b2=3,bn=bn-1-bn-2(n≥3),则b2 023=(　　) A.-1　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D.1 10.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N+),则a2 023=(　　) A.-1　　　　　B. C.　　　　　D.+1 11.已知数列{an}中,an=n·,当an最大时,n=(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 12.(多选题)若数列{an}满足对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列通项公式,其中满足数列{an}是“差递减数列”的有(　　) A.an=3n　　　　　B.an=n2+1　　　　 C.an=　　　　　D.an=ln 13.已知数列{an}为递增数列,且an=4n+2n+an-7,则a的取值范围为(　　) A.(1,+∞)　　　　　B.(-12,+∞) C.[0,+∞)　　　　　D.(-14,+∞) 14.已知数列{an}满足an=(n∈N+),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A.(2,3)　　　　B.[2,3)　　　　C.　　　　D.(1,3) 15.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出这个最小值; (2)若对任意的n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围. 16.已知数列{an}满足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.D　同一个数在某数列中可以重复出现,故A中说法错误;数列中各项是有序的,故数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列,故B中说法错误;{1,3,5,7}是集合,不是数列,故C中说法错误;由数列的概念可知,数列中的每一项都与它的序号有关,故D中说法正确.故选D. 易错警示　需特别注意的是,数列中的项具有三大特性:确定性,有序性(与各项的排列顺序有关),可重性(允许重复). 2.BC　数列1,2,3,4,…,n,共n项,是有穷数列,A中说法错误;当n=6时,2×6+1=13,B中说法正确;易知C中说法正确;数列中的第一项不能用2n,n∈N+表示,D中说法错误.故选BC. 3.A　解法一:由an=,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A. 解法二:当n∈N+且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N+且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项为1,偶数项为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0. 4.C　由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20. 5.B　观察题中数列知,数列中每一项的绝对值是该项序号的平方,奇数项的符号为负,偶数项的符号为正,故其通项公式可以为an=(-1)n·n2. 方法技巧　当一个数列中的项的符号负正相间或正负相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示. 6.C　观察前10项发现,当n为偶数时,an=,当n为奇数时,an=,所以a19==180.故选C. 7.ACD　对于A,由题意得该数列的一个通项公式为an=,则a211=,故A正确; 对于B,令n(n+1)=120,则n2+n-120=0,显然11不是该方程的解,故B错误; 对于C,数列1,,,2,,…可改写为,,,,,…,所以该数列的一个通项公式为an=,所以第8项是=2,故C正确; 对于D,数列3,5,9,17,33,…可改写为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…, 所以该数列的一个通项公式为an=2n+1,故D正确. 故选ACD. 8.C　设第n行的实心圆圈的个数为an,由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,则an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故选C. 9.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故选C. 10.解析　(1)易知该数列由从4开始的偶数构成,所以该数列的一个通项公式为an=2n+2,n∈N+. (2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故该数列的一个通项公式为an=,n∈N+. (3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n作为通项的一个因式.又第1项可改写成分数-,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N+. (4)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-1),×(1 000-1),×(10 000-1), 即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1), 所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+. 11.解析　(1)依题意设an=kn+b(k≠0), ∵a1=2,a17=66,∴解得 ∴an=4n-2,n∈N+. (2)a2 024=4×2 024-2=8 094. (3)令an=2 024,则4n-2=2 024,解得n=, ∵∉N+, ∴2 024不是数列{an}中的项. 12.D　对于A,an=,则an+1-an=-=<0,故数列{an}是递减数列,不符合题意; 对于B,an=1-n,则an+1-an=1-(n+1)-1+n=-1<0,故数列{an}是递减数列,不符合题意; 对于C,an=则a2=5,a3=4,故数列{an}不是递增数列,不符合题意; 对于D,an=2n2-5n+1,则an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)+1-2n2+5n-1=4n-3,由于n∈N+, 所以an+1-an=4n-3>0,故数列{an}是递增数列,符合题意. 故选D. 13.B　an=-2n2+9n+3=-2+, ∵n∈N+,∴当n=2时,an取得最大值,为13.故选B. 14.C　a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,……,所以数列{an}是周期为3的周期数列, 所以a2 022=a674×3=a3=-1. 15.答案　26 解析　令4n-102>0,得n>25,n∈N+, ∴从第26项开始,数列中的项都大于零. 16.答案　(-∞,2) 解析　∵数列{an}是递增数列, ∴an+1-an=n+1+-n-=+1>0恒成立, 即λ<n2+n恒成立,易知n2+n随着n的增大而增大,则当n=1时,n2+n取得最小值2,则λ<2, 故实数λ的取值范围是(-∞,2). 17.解析　列表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … an 20 27 32 35 36 35 32 27 20 11 0 … 该数列的图象如图所示: 由数列的图象知,当1≤n≤5时,数列递增;当n≥5时,数列递减. 能力提升练 1.D　对于A,{an}的各项依次为0,2,0,2,…,A不符合; 对于B,{an}的各项依次为0,4,0,4,…,B不符合; 对于C,{an}的各项依次为2,-2,2,-2,…,C不符合; 对于D,{an}的各项依次为2,0,2,0,…,D符合. 故选D. 2.D　由已知得=,∴=,=,=,……,=(n≥2), 将上述各式两边分别相乘得==n(n≥2),即an=2n(n≥2),又a1=2满足上式,∴an=2n. ∴a2 022=2×2 022=4 044.故选D. 3.C　因为an能被3除余2且被7除余2, 所以an-2既是3的倍数,又是7的倍数,即an-2是21的倍数,又an>0,数列{an}是递增数列, 所以an-2=21(n-1),即an=21n-19,所以a6=21×6-19=107.故选C. 4.BC　因为a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,所以a4=1+2+3+4=10,an+1-an=n+1,n∈N+,故A错误,B正确; 由前面的规律可知an=1+2+…+n=, 则a20==210,故C正确; 因为=,anan+2=, 所以≠anan+2,故D错误. 故选BC. 5.C　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N+.易知a1=4,b2=4符合题意. 若m=3k,则bm=9k2,它不是{an}中的项; 若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1,它是{an}中的项; 若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1,它是{an}中的项. 故除b2外,当m=3k+1或m=3k+2,k∈N+时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项. 所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…, 令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}中的第22项,{cn}中的第14项. 故选C. 6.答案　an=(-1)n·(答案不唯一) 解析　∵a1=(-1)1×=-1,a2=(-1)2×=3,a3=(-1)3×=-6,a4=(-1)4×=10, ∴an=(-1)n·. 7.答案　61 信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1. 数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列构成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结得出f(n). 解析　由题图得, f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1. 所以f(6)=2×6×5+1=61. 8.解析　(1)an===, 令=,解得n=. 因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项. (2)由(1)可得an===1-, 因为n∈N+,所以0<<1,所以0<an<1. 所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内. (3)在区间内有数列{an}中的项. 令<an<,得<<, 即解得<n<, 又因为n∈N+,所以n=2. 故在区间内有且仅有一个数列{an}中的项,它是第2项,且a2=. 9.D　由题意得b3=b2-b1=2,b4=b3-b2=-1,b5=b4-b3=-3,b6=b5-b4=-2,b7=b6-b5=1,b8=b7-b6=3,……,所以数列{bn}是周期为6的周期数列,∴b2 023=b337×6+1=b1=1.故选D. 10.C　由题意可得a2=-1,a3=+1,a4=,……, ∴数列{an}是周期为3的周期数列,∴a2 023=a1=.故选C. 11.B　由(n≥2,n∈N+),得解得≤n≤,又n∈N+,∴n=4.故选B. 12.CD　选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则{an+1-an}为常数列,不满足“差递减数列”的定义; 选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{an+1-an}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义; 选项C,由an=,得an+1-an=-=, 显然{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义; 选项D,由an=ln,得an+1-an=ln-ln=ln=ln,随着n的增大,此式的值变小,所以{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义. 故选CD. 13.D　因为数列{an}为递增数列, 所以an+1-an=[4n+1+2n+1+a(n+1)-7]-(4n+2n+an-7)=3×4n+2n+a>0对一切正整数n恒成立, 令f(n)=3×4n+2n+a(n∈N+),易知f(n)在定义域上单调递增,所以f(n)min=f(1)=14+a,则14+a>0,解得a>-14.故选D. 14.C　由数列{an}是递增数列,得解得<a<3,即a的取值范围为. 易错警示　分段形式的数列的增减性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}是递增数列需满足a7>a6,而函数f(x)=单调递增需满足a6-6≥6(3-a)-8. 15.解析　(1)当k=-5时,an=n2-5n+4.由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N+,所以n=2或n=3, 所以数列中有两项是负数,即为a2,a3. 易得an=n2-5n+4=-, 由二次函数的性质,结合n∈N+得,当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2. (2)因为an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1, 又对任意的n∈N+,都有an+1>an, 所以k>(-2n-1)max,所以k>-2-1=-3. 所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 16.解析　(1)解法一:∵a=-7, ∴an=1+. 结合函数y=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+), ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解法二:∵a=-7,∴an=1+. 设数列中的最大项为an, 则(n≥2且n∈N+), 即 解得<n<. 又∵n≥2且n∈N+, ∴n=5,即数列{an}中的最大项为a5=2. 同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0. (2)an=1+=1+. ∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立, ∴结合函数y=1+的单调性,知5<<6, ∴-10<a<-8.故实数a的取值范围为(-10,-8). 12 学科网（北京）股份有限公司 $$