第1章 专题强化练3 数列的递推公式及通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式 　　45分钟 1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=　　　　　B.an= C.an=　　　　　D.an= 2.已知数列{an}满足a1=1,=,n∈N+,则下列结论不正确的有(　　) A.a4=2 B.数列{nan}是等比数列 C.数列{an}为递增数列 D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6 3.已知数列{an}满足a3-a2=9,an-4an-1+3an-2=0(n≥3),则an-a1=(　　) A.　　　　B.　　　　C.2·3n-6　　　　D. 4.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,则(　　) A.a3=4 B.数列{an}为等差数列 C.数列{a2n}为等差数列 D.n为奇数时,Sn= 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+q(p,q∈R,n∈N+),设{an}的前n项和为Sn,则下列说法不正确的是(　　) A.若p=-1,q=3,则a10=2 B.若p=-1,q=3,则S10=15 C.若p=2,q=1,则a10=1 024 D.若p=2,q=1,则S10=2 036 6.已知数列{an}满足a1=t,an+1-2an=-n+1,若{an}是递减数列,则实数t的取值范围为(　　) A.(-1,1)　　　　　B.(-∞,0) C.(-1,1]　　　　　D.(1,+∞) 7.已知数列{an}的首项为2,等比数列{bn}满足bn=且b1 012=1,则a2 024=　　　　.  8.设数列{an}满足a1=-2,an+1=an+n·2n,则log2a1 026=　　　　.  9.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1,n∈N+,数列{(an-1)·(bn+1-bn)}的前n项和为,且b1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:1≤bn<5(n∈N+). 答案与分层梯度式解析 1.D　由an+1=(n∈N+),得=+,即-=, 所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)=,所以an=,故选D. 2.C　由=,得=2, 因为1·a1=1, 所以数列{nan}是首项为1,公比为2的等比数列,则nan=2n-1,即an=,B中结论正确; a4==2,A中结论正确; 因为a2==1=a1,所以数列{an}不是递增数列,C中结论错误; 显然an>0,==,当n≥2时,an+1>an,故数列{an}从第2项起为递增数列,又a6=<6,a7=>6,因此数列{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,所以数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,D中结论正确.故选C. 3.A　由已知得an-an-1=3(an-1-an-2)(n≥3), 所以a3-a2=3(a2-a1)=9,即a2-a1=3, 所以{an+1-an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 因此an+1-an=3×3n-1=3n, 当n≥2时,a2-a1=3,a3-a2=32,……,an-an-1=3n-1, 累加得an-a1=3+32+…+3n-1==. 故选A. 4.ACD　由an+1+an=3n,得a3+a2=6,又a2=2,所以a3=4,所以A正确; 2a2-a1-a3=-1≠0,即2a2≠a1+a3,所以数列{an}不是等差数列,所以B不正确; 由an+1+an=3n,得a2n+2+a2n+1=6n+3,a2n+1+a2n=6n, 两式相减,得a2n+2-a2n=3,所以数列{a2n}是以2为首项,3为公差的等差数列,所以C正确; 由an+1+an=3n,得a2n+a2n-1=6n-3, 因为a2n+1+a2n=6n,所以a2n+1-a2n-1=3, 又a2n+2-a2n=3,所以数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列,当n为奇数时,Sn=(a1+a3+…+an-2+an)+(a2+a4+…+ an-1)=×1+×3+×2+×3=,所以D正确. 故选ACD. 5.C　对于A,B,若p=-1,q=3,则an+1+an=3,an+2+an+1=3,两式相减可得an+2=an,∴{an}是周期为2的周期数列, 由a1=1,an+1+an=3,得a2=2,则a10=a2=2,S10=5(a1+a2)=5×3=15,故A、B中说法正确; 对于C,D,若p=2,q=1,则an+1=2an+1, 可得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2, ∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴an+1=2n,则an=2n-1,∴a10=210-1=1 023, S10=a1+a2+…+a10=21-1+22-1+…+210-1=21+22+…+210-10=-10=2 036,故C中说法错误,D中说法正确.故选C. 6.B　由an+1-2an=-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n), 易知当t=1时,a1=1,a2=2,不满足{an}是递减数列,故t≠1, 因此数列{an-n}是以a1-1=t-1为首项,2为公比的等比数列, 故an-n=(t-1)2n-1,所以an=n+(t-1)2n-1, 由于{an}是递减数列,所以an+1<an恒成立,得n+1+(t-1)2n<n+(t-1)2n-1, 化简得(1-t)2n-1>1,故1-t>,因此1-t>=1,解得t<0.故实数t的取值范围为(-∞,0).故选B. 方法技巧　已知an+1=pan+qn+r形式的递推公式,求数列的通项公式时,可设an+1+(n+1)x+y=p(an+nx+y),移项整理,对比系数可得x,y的值,从而构造出等比数列并求得{an+nx+y}的通项公式,进而求出an. 7.答案　2 解析　设等比数列{bn}的公比为q, 则bn=b1·qn-1=, 所以=b1·qn-2,=b1·qn-3,……,=b1·q0, 累乘得··…·=·q0+1+2+…+n-2=·,整理得an=a1··, 所以a2 024=a1··=2·q1 011×2 023=2(b1· q1 011)2 023, 又b1 012=b1·q1 011=1,所以a2 024=2(b1·q1 011)2 023=2. 8.答案　1 036 解析　∵an+1=an+n·2n,∴an+1-an=n·2n, 当n≥2时,an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)·2n-1+(n-2)·2n-2+…+2×22+1×21,① ∴2(an-a1)=(n-1)·2n+(n-2)·2n-1+(n-3)· 2n-2+…+2×23+1×22,② ①-②得-(an-a1)=-(n-1)·2n+2n-1+2n-2+…+23+22+2=-(n-1)·2n+=-(n-1)·2n-2+2n=-(n-2)·2n-2, ∴an-a1=(n-2)·2n+2, 当n=1时也符合上式,所以an=(n-2)·2n, 故log2a1 026=log2(1 024×21 026)=log2(210×21 026)=log221 036= 1 036. 9.解析　(1)∵an+1=2an-1, ∴an+1-1=2(an-1), 又a1-1=1≠0, ∴数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数列, ∴an-1=2n-1,∴an=2n-1+1. (2)证明:设cn=(an-1)(bn+1-bn)=2n-1·(bn+1-bn), 则c1+c2+…+cn=. 当n=1时,c1=1; 当n≥2时,cn=-=n, c1=1满足上式,∴cn=n, ∴bn+1-bn=,则b2-b1=, b3-b2=,b4-b3=, …… bn-bn-1=, 将以上各式累加,得bn-b1=++…+. 令T=++…+, 则=++…++, 两式相减得=+++…+-=2-, ∴T=4-,∴bn=5-. 令f(n)=(n∈N+), 当n≥2时, f(n)-f(n-1)=-=<0, 即f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n), ∴f(n)max=f(1)=4, ∵>0,∴0<≤4, ∴1≤5-<5,即1≤bn<5. 解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$