第1章 专题强化练2 等比数列的综合运用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

专题强化练2　等比数列的综合运用 　　45分钟 1.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若++2a2a6=8 100,S4-S2=36,则S2 021=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,从低到高依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为(　　) A.f　　　　B.f　　　　C.f　　　　D.f 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+2a2=0,S3=,且a≤Sn≤a+2,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,1]　　　　　B.[-1,0] C.　　　　　D. 4.已知数列{an}的首项为a1=,且an+1=,++…+<2 025,则满足条件的最大正整数n=(　　) A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.2 024　　　　D.2 025 5.我国古代数学名著《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?意思是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都前进一尺,以后每天穿墙的厚度与前一天相比,大鼠加倍,小鼠减半,则在第几天两鼠相遇?在这个问题中,若将墙的厚度改为10尺,则两鼠穿透此墙至少需要　(　　) A.3天　　　　B.4天　　　　C.5天　　　　D.6天 6.在1,3中间插入二者的乘积,得到1,3,3,称数列1,3,3为数列1,3的第一次扩展数列,数列1,3,3,9,3为数列1,3的第二次扩展数列,重复上述规则,可得1,x1,x2,…,,3为数列1,3的第n次扩展数列,令an=log3(1·x1·x2·…··3),则数列{an}的通项公式为　　　　.  7.已知数列{an}满足a1=-,an+1=(n∈N+). (1)证明是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn=(n-3),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤tbn对任意n∈N+恒成立,求实数t的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.C　设等比数列{an}的公比为q,由++2a2a6=8 100得++2a3a5=8 100,即(a3+a5)2=8 100, 因为an>0,所以a3+a5=90,又因为S4-S2=a3+a4=36,所以===,由q>0得q=3, 又a3+a4=a1q2+a1q3=36a1=36,所以a1=1, 所以S2 021==,故选C. 2.B　由题意得,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为{an}, 则第六个单音的频率a6=f·()5=f.故选B. 3.D　设等比数列{an}的公比为q, 因为a1+2a2=0,S3=, 所以解得 所以Sn==, 所以当n=1时,Sn取得最大值1,当n=2时,Sn取得最小值,所以解得-1≤a≤,故选D. 4.C　因为an+1=,所以==+, 所以-1=,所以数列是等比数列,其首项为-1=-1=,公比为,所以-1=×=2×,即=2×+1,设数列的前n项和为Sn, 则Sn=++…+=2×++…++n=2×+n=n+1-,n∈N+, 易知{Sn}是递增数列,又因为S2 024=2 025-<2 025,且S2 025=2 026->2 025,所以满足条件的最大正整数n=2 024.故选C. 5.B　由题意可知大鼠每天穿墙的厚度(单位:尺)可构成首项为1,公比为2的等比数列,小鼠每天穿墙的厚度(单位:尺)可构成首项为1,公比为的等比数列. 设两鼠穿透此墙需要n(n∈N+)天, 则+≥10,即2n-21-n-9≥0, 令f(x)=2x-21-x-9,易知当x>0时,f(x)单调递增,又f(3)=8--9=-<0,f(4)=16--9=>0, ∴两鼠穿透此墙至少需要4天.故选B. 6.答案　an= 解析　因为an=log3(1·x1·x2·…··3), 所以an+1=log3[1·(1·x1)x1(x1x2)x2…(·3)·3]=log3(12·…·32)=3an-1, 所以an+1-=3, 又a1=log3(1×3×3)=2,所以a1-=, 所以是以为首项,3为公比的等比数列, 所以an-=×3n-1=,所以an=. 7.解析　(1)因为a1=-≠0,an+1=,所以an≠0,所以==-, 故+2=-+2=, 又因为+2=,所以是以为首项,为公比的等比数列, 故+2==2,即an=. (2)由(1)得,bn=(n-3)=(n-3), 则Tn=(-2)×+(-1)×+0×+…+(n-3)×, Tn=(-2)×+(-1)×+…+(n-4)×+(n-3)×, 两式相减得,Tn=-+-(n-3)×=-+-(n-3)×=-+-(n-3)×=-n, 所以Tn=-2n, 所以Tn≤tbn恒成立即-2n≤t(n-3)恒成立,即t(n-3)+2n≥0恒成立, 当n=3时,不等式恒成立,t∈R; 当n<3时,t≤-=-2-,易知y=-2-,n<3,n∈N+是增函数,故当n=1时,ymin=1,所以t≤1; 当n>3时,t≥-=-2-,易知g(n)=-2-, n>3,n∈N+是增函数,且当n趋于正无穷时,g(n)趋于-2,所以g(n)<-2,所以t≥-2. 综上可得,实数t的取值范围为[-2,1]. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$