第1章 3.1 等比数列的概念及其通项公式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

3.1 等比数列的概念及其通项公式 §3 等比数列 知识点 1 等比数列的概念 知识 清单破 文字语言 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0) 数学符号 在数列{an}中,如果 =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+)成立,那么称该数列为等比数列,称常数q为等比数列的公比 递推关系  =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+) 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点2　 　　若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0). 当q>0且q≠1,a1≠0时,an=f(n)= ·qn为指数型函数. 知识点 2 等比数列的通项公式 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点3　 如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义, = ,G2= ab,G=± .我们称G为a,b的等比中项. 显然,在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项. 知识点 3 等比中项 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 a1的正负 q的范围 数列{an}的增减性 a1>0 0<q<1 递减数列 q>1 递增数列 a1<0 0<q<1 递增数列 q>1 递减数列 知识点 4 等比数列的增减性 　　当q<0或q=1时,数列{an}不具有增减性. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点5　 1.通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N+). 2.若{an}是等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则akal=aman;特别地,若m+n=2r(m,n,r∈N+),则aman=  . 3.公比为q的等比数列{an}中,相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是 等比数列,公比为qm,其中k,m∈N+. 4.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ,{ },{anbn}, 仍是等比数列. 5.若数列{an}是各项均为正数且公比为q(q>0)的等比数列,则数列{logaan}(a>0且a≠1)是公差 为logaq的等差数列. 知识点 5 等比数列的简单性质 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.站成一排的10名学生中,若从左数的第2名学生起,每一名学生与其左边的学生的年龄(单 位:岁)的比值都是常数,则这排从左至右排列的学生的年龄(单位:岁)构成一个等比数列. (　    ) 2.已知三个人的体重(单位:千克)依次构成等比数列,且第一、三个人的体重(单位:千克)分别 为20,80,则第二个人的体重(单位:千克)为40. (　    ) 3.若an+1=qan,n∈N+,且q≠0,则{an}是等比数列. (　    ) 4.任何两个数都有等比中项. (　    ) 5.常数列既是等差数列,又是等比数列.  (　    ) 知识辨析 ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 ✕ 提示 比值都是同一个常数才构成等比数列. 当a1=0时,an=0(n∈N+),{an}不是等比数列. 当两个数a,b异号时,ab<0,G2=ab<0,无实数解,此时a与b没有等比中项. 常数列0,0,0,…是等差数列,但不是等比数列.而非零常数列既是等差数列,又是等比数列. √ 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　判定或证明一个数列是等比数列时,常用的方法有: (1)定义法: =q(an≠0,q≠0,n∈N+)⇔{an}为等比数列; (2)等比中项法: =anan+2(n∈N+且an≠0)⇔{an}为等比数列; (3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列. 注意:证明一个数列是等比数列只能从两个方面入手,一是利用定义,二是利用等比中项.而判 定一个数列是等比数列,除这两种证明方法可作为判定依据外,还可以利用等比数列的通项 公式进行判定. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 等比数列的判定(证明) 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足4Sn-2an=2n(n∈N+),设bn=an+an+1,证明:数列{bn}是等比 数列. 典例 证明    因为4Sn-2an=2n, 所以4Sn+1-2an+1=2n+1, 两式相减得4an+1-2an+1+2an=2n+1-2n, 整理可得an+1+an=2n-1,即bn=2n-1, 故 = =2,所以数列{bn}是等比数列. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)中含有四个量:a1,q,n,an,可知三求一,进行适当 的变形以便于灵活应用. 2.当数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比 数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有: (1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列 为等比 数列;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1)(n≥2,n ∈N+),当a2-a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列. (2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化为an+1- =c 或将递推公式两边同除以dn+1化为(1) 讲解分析 疑难 2 等比数列的求解及应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 中类型;也可将递推公式两边同除以cn+1,然后利用累加法求通项公式. (3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化为an+1- =c +dn,即(2)中类型. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式. 典例 思路点拨    思路一:引入参数λ,使an+1+λ=3(an+λ),利用数列{an+λ}为等比数列求解. 思路二:通过观察递推公式的特征,直接消去常数项,利用等比数列求通项公式. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:令an+1+λ=3(an+λ), 即an+1=3an+2λ, 又an+1=3an+2,∴λ=1, ∴an+1+1=3(an+1). ∵a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列, ∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1. 解法二:∵an+1=3an+2, ∴an=3an-1+2(n≥2), 两式相减,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2). ∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4, ∴数列{an+1-an}是首项为4,公比为3的等比数列, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ∴an+1-an=4×3n-1. ∴3an+2-an=4×3n-1, ∴an=2×3n-1-1. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 疑难3 1.解决与等比数列有关的问题时,若按常规的解题方法,则需建立关于首项和公比的方程(组) 求解,常常涉及次数较高的指数运算,运算量比较大,解题烦琐,如果结合等比数列的有关性质 来求解,那么会起到化繁为简的效果. 2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 讲解分析 疑难 3 等比数列性质的应用 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (1)在等比数列{an}中,an>0,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=　　　    ; (2)设{an}为公比q>1的等比数列,若a2 021和a2 022是方程4x2-8x+3=0的两实根,则a2 033+a2 034=　　        ; (3)在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则an=　　　    . 典例 128  2×312     -(-2)n-1 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)a3a5= =4, 又an>0,所以a4=2, 所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4=   a4= =27=128. (2)解方程4x2-8x+3=0得x1= ,x2= , 因为q>1,所以a2 021= ,a2 022= ,故q=3, 所以a2 033+a2 034=a2 021q12+a2 022q12=(a2 021+a2 022)q12=2×312. (3)由a4a7=-512得a3a8=-512, 又a3+a8=124,所以a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4, 因为公比q为整数,所以a3=-4,a8=128, 所以q= =- =-2, 故an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$