第1章 §5 数学归纳法（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立; (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. *§5 数学归纳法 知识 清单破 知识点 数学归纳法 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　    ) 2.数学归纳法的两个步骤缺一不可. (　    ) 3.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. (　    ) 4.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式左边(或右边)增加的项不一定只有一项. (　    ) 知识辨析 ✕ √ ✕ 提示 √ 提示 有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角和为(n-2)· 180°,第一步要验证当n=3时结论成立.  如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k到n=k+1,等式左边 增加了两项. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式问题时,关键是看清等式两边的项,弄清等 式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设进行证明.证明等式的一个重要 技巧就是两边“凑”. 2.用数学归纳法证明等式的一般步骤 (1)弄清n取第一个值n0时等式两边项的情况,验证两边相等. (2)弄清从n=k到n=k+1时等式两边的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少了哪些项,利用这 些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形, 证明n=k+1时结论也成立. (3)由数学归纳法原理得到等式成立. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 利用数学归纳法证明等式 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2). 典例 证明    ①当n=1时,左边=2,右边= ×1×2×3=2,等式成立. ②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立, 即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k(k+1)(k+2), 则当n=k+1时, 左边=1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2) =(k+1)(k+2)  = (k+1)(k+2)(k+3)=右边, 即n=k+1时,等式也成立. 根据①②可知,1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)对任意正整数n都成立. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式和证明与正整数有关的等式的方法类似. 2.用数学归纳法证明不等式时需注意:在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要 将表达式进行适当放缩变形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论. 疑难 2 用数学归纳法证明不等式 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 用数学归纳法证明:1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+). 典例1 证明    (1)当n=1时,左边=1+ = ,右边= +1= ,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立, 即1+ + +…+ ≤ +k, 则当n=k+1时,1+ + +…+ + + +…+ < +k+2k· = +(k+1), 即当n=k+1时,不等式成立. 由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N+都成立. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 用数学归纳法证明: + +…+ > (n≥2,n∈N+). 典例2 证明    ①当n=2时,左边= + = , > ,不等式成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立, 即 + +…+ > , 那么,当n=k+1时, + +…+  = + +…+ + + + -  = + + -  > + + -  = + -  第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 = + > , 即当n=k+1时,不等式也成立. 根据①和②可知,原不等式对任意大于或等于2的正整数都成立. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 　　在给出了已知数列的递推公式的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出结论,然 后用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是 归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 疑难 3 归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题 讲解分析 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+). (1)用a表示a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得,a2= = , a3= = = , a4= = = . (2)因为a1=a= , a2= , a3= , 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 a4= , …… 所以猜想an= ,n∈N+. 下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,因为a1=a= , 所以当n=1时,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立, 即ak= , 所以当n=k+1时, 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 ak+1= =  = =  = , 所以当n=k+1时,猜想也成立. 根据①与②可知,猜想对任意n∈N+都成立. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板    “归纳—猜想—证明”的解题步骤:   第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$