第1章 §1 数列的概念及其函数特性（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式 可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为数列{an},其中a1是数列的第1项,也叫数列的首项;an是数列 的第n项,也叫数列的通项. 2.一般地,项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为无穷数列. §1 数列的概念及其函数特性 知识点 1 数列及其相关概念 知识 清单破 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识点2　 　　如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式 子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式. 知识点 2 数列的通项公式 知识拓展　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个 数列的递推公式.知道了首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项了. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系 内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…,这个图象也称为数列的图 象. 2.数列的增减性 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作 递增数列.如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列. 知识点 3 数列的函数特性 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　周期数列 一般地,若数列{an}满足存在正整数T,使得an+T=an对一切正整数n都成立,则称数列{an}为周期 数列,T叫作{an}的周期,如数列 就是周期数列,其一个周期为4. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.高一(1)班同学的身高(单位:cm)按从高到低的顺序可排成一个数列. (　    ) 2.庄子曾说:“一尺之棰(意指木棒),日取其半,万世不竭.”这个问题中每日剩下的木棒长度 (单位:尺)构成的数列为无穷数列. (　    ) 3.数列1,2,3,2 024和数列2 024,3,2,1是同一个数列. (　    ) 4.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的一个通项公式是an=2n+1. (　    ) 知识辨析 √ √ ✕ 提示 数列1,2,3,2 024和数列2 024,3,2,1不是同一个数列,这是因为二者的项的排列次序不同. ✕ 提示 该数列的一个通项公式为an=2n-1. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.由数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 (1)从下面4个角度观察数列的前几项: ①各项的符号特征; ②各项能否拆分; ③分式(或分数)的分子、分母的特征; ④相邻项的变化规律. (2)寻找各项与其对应序号之间的规律,一般方法如下: ①熟记一些特殊数列的通项公式,熟悉它们的变化规律,并灵活运用; ②将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如分式形式的数列, 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 求数列的通项公式 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 可分别求分子、分母的通项公式; ③当一个数列的各项正负相间或负正相间时,可用(-1)n+1或(-1)n来表示此符号的变化规律; ④当数列的奇、偶项分别呈现各自的规律时,可以考虑用分段的形式给出,也可以将给出的 各项统一化成某种形式. 2.由递推公式求通项公式的常用方法 (1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)求出通 项公式,这种方法叫累加法. (2)形如 =f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N+)求出通项公式, 这种方法叫累乘法. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式. (1) , , , ,…; (2) ,2, ,8, ,…; (3)-1,3,-5,7,…; (4)2,22,222,2 222,…. 典例1 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)分子为从2开始的连续偶数,分母可依次变形为1×3,3×5,5×7,7×9,…,每一项都是两 个相邻正奇数的乘积, 故an= . (2)将分母统一成2,则数列变为 , , , , ,…,各项的分子依次为12,22,32,…, 故an= . (3)该数列的前4项的绝对值为从1开始的连续奇数,且奇数项为负数,偶数项为正数,故an=(-1)n· (2n-1). (4)该数列的前4项可以化为 ×9, ×99, ×999, ×9 999,即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),所以原数列的一个通项公式为an= ×(10n-1). 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 (1)在数列{an}中,a1=3,an+1=an+ - ,则数列{an}的通项公式为　　    ; (2)已知数列{an}中,a1=1,nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式是　　　    . 典例2 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,a4=a3+ - ,……,an-1=an-2+ - ,an=an-1+ - , 以上各式累加得,an=a1+1- . 又a1=3,∴an=4- . (2)由nan+1=(n+1)an,可得 = , ∴a1· · ·…· =1× × ×…× =n,∴an=n. 答案    (1)an=4-     (2)an=n 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 1.数列增减性的判断方法和应用 (1)数列{an}的增减性通常是通过比较数列中任意相邻两项an和an+1的大小来判断的,常用的方 法是定义法、图象法和函数法. (2)可以利用数列的增减性确定变量的取值范围.解题时常利用以下等价关系: 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N+); 数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N+). 2.求正项数列{an}的最大(小)项的常用方法 (1)当 (n≥2,n∈N+)时,an是数列中的最大项;当 (n≥2,n∈N+)时,an是数列中的 最小项. 疑难 2 数列的增减性及其应用 讲解分析 (2)构造函数,利用函数的单调性求最大(小)项. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 在数列{an}中,an=(n+1) . (1)求证:数列{an}先递增后递减; (2)求数列{an}的最大项. 典例 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证法一:令 >1(n≥2), 则 >1(n≥2), 整理得 > (n≥2),可得2≤n<10. 令 >1,则 >1, 整理得 > ,解得n>9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增,从第10项起递减,即数列{an}先递增后递减. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 证法二:因为an+1-an=(n+2) -(n+1)· = · , 所以当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 所以数列{an}从第1项到第9项递增,从第10项起递减,即数列{an}先递增后递减. (2)由(1)知a9=a10= 为数列{an}的最大项. 易错警示    利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意定义域为正整数集或其子集这一约 束条件. 第一章　数列 第1讲　描述运动的基本概念 $$