22.3.3 实际问题与二次函数 课件 2025-2026学年人教版九年级上册数学

---第3课时 人教版 九年级上 22.3实际问题与二次函数 教学目标 1.会建立适当的平面直角坐标系，构建二次函数模型的建立， 把实际问题转化为二次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥等有关问题．(重、难点) 问题：如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x−h)2+k （4）y=ax2+bx x y O x y O x y O 回顾旧知 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，如下图。 下面我们利用所学二次函数等相关知识解决此类实际问题。 情境导入 例1、如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 思考1：怎样把这个实际问题转化成数学问题来解？ 二次函数的图像就是抛物线，在图像上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，即可把实际问题转化成数学问题。 合作探究 （1）待定系数法；（2）根据函数图像在平面直角坐标系中的位置的特点来设。 思考2：求函数解析式的方法是什么？如何设这个函数解析式？ 思考3：怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 如图． 合作探究 思考4：从图看出，如何设这条抛物线的解析式呢？ 由于顶点坐标是（0.0），因此这个二次函数的形式为： 思考5：如何去确定a 的值？利用哪个点的 坐标？这个点的坐标是什么？ 解得： 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，−2）在抛物线上，由此得出 故： 合作探究 这条抛物线表示的二次函数为y= 思考6：水面下降1m，水面宽度增加多少？ 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3. 令 解得 即，水面下降1m时，水面宽度增加 思考7：还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？ 合作探究 放在一起，比比看！ （0，0） （4，0） （2，2） （−2，−2） （2，−2） （0，0） （−2，0） （2，0） （0，2） （−4，0） （0，0） （−2，2） y y y y o o o o x x x x 合作探究 1.如图，公园要在一个圆形的喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA的距离为1m处达到距水面的距离最大，高度为2.25m．若不计其它因素，那么水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？ 趁热打铁 解：以O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶点为（1，2.25），设解析式为y=a（x-1）2+2.25过点（0，1.25）， 解得a=-1， 所以解析式为： y=-（x-1）2+2.25，令y=0， 则-（x-1）2+2.25=0， 解得x=2.5 或x=-0.5（舍去）， 所以水池的直径至少要5米才能使喷出的水流不致落到池外． y o x （1,2.25） （0,1.25） 合作探究 归纳总结： 用二次函数知识解决实物中抛物线形问题的一般步骤： (1)建：根据题意建立适当的直角坐标系； (2)审：把已知条件转化为点的坐标； (3)设：合理设出函数解析式； (4)求：利用待定系数法求出函数解析式； (5)答：根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。 合作探究 1.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　） D A、 B、 C、 D、 综合演练 C         2、某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管的分水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为0.5米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系是（ ） 综合演练 综合演练 4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 。 160m 3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝ − x2+2x+c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； 解：（1）根据题意得C（0，4）， 把C（0，4）， 代入y＝ − x2+2x+c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝− x2 +2x+4. 综合演练 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 所以这辆货车能安全通过. （2）抛物线解析式为y＝− x2+2x+4 (x﹣6)2+10， 所以对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0） 或（10，0）， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， 综合演练 综合演练 （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ （3）令y＝8，则 (x﹣6)2+10＝8， ，x2＝6﹣2 解得x1＝6+2 则x1﹣x2＝4 所以两排灯的水平距离最小是 4 m. 3米 4米 4米 x y O 6、在篮球比赛中，姚小明挑起投篮，已知球出手时离地面 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？若投不中，假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? 提能训练 因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 3米 4米 4米 x y A B C O （1）解：如图建立平面直角坐标系，则点A的坐标是(0， )，点B的坐标是（4,4），C（8,3）。 将点A代入y=a(x-4)2+4得，a= 提能训练 当x=8时，则y ≠ 3 所以此球不能投中. 判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上； 所以抛物线的解析式是y= (x-4)2+4 提能训练 （2）若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿； （2）向前平移一点儿. 3米 8米 4米 4米 x y O 提能训练 （1）跳得高一点儿； y x （8，3） （4，4） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4 2 提能训练 （2）向前平移一点儿. y （8，3） （4，4） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4 2 （７，３） ● x 提能训练 说一说如何将实际问题转化为数学问题（二次函数）解决？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$