22.3.2 实际问题与二次函数 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

---第2课时 人教版 九年级上 22.3实际问题与二次函数 教学目标 1.能应用二次函数的相关性质解决实际问题（商品销售）过程中的最大利润问题.（重点） 2.读懂题意，弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品 买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 情境导入 问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是________元，销售利润_________元. （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 18000 6000 合作探究 问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 合作探究 ★涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300−10x) (20+x)(300−10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300−10x), 即：y=−10x2+100x+6000. 6000 合作探究 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300 −10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=−10x2+100x+6000， 当 时，y=−10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. 合作探究 ★降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20−x) (300+20x) (20−x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20−x)(300+20x)， 即：y=−20x2+100x+6000. 6000 合作探究 合作探究 综上可知，定价65元时，最大利润是6250元. 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20−x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 当 时, 即降价2.5元时，最大利润是6125元. 即：y=−20x2+100x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? ②自变量x的取值范围如何确定？ 已知该T恤的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件，若厂家规定促销期间每件售价不能超过64元，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？ 变式训练： 解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元。 则，y=-10x2+100x+6000. 由题意，得 60+x≤64，且x≥0，则0≤ x≤4 合作探究 ∵-10＜0,对称轴为x=5 ∴开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大 即当x=4时，y有最大值为： -10×42+100×4+6000=6240 当售价为64元时，能获得最大利润6240元。 合作探究 归纳总结： 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图， 利用简图和性质求出. 合作探究 （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 1、某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. 趁热打铁 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，y=-102+20×10-75=25， 最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大,最大利润是25元； (2)由对称性知y=16时， 16=-x2+20x-75 ， 即x2-20x+91=0，解得x=7或13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 趁热打铁 1.山东全省2024年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（　　） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 C 综合演练 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . (以上关系式只列式不化简） y=2000−5(x−100) w=[2000−5(x−100)](x−80) 3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（15 ≤ x ≤24)出售，可卖出（600－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 24 综合演练 4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ w=[12+2(x −1)][80−4(x −1)] =−8(x−8)2+1352. 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润 为1352元. 综合演练 5、某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？ 答：此时每月的总利润最多是1200元. 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x−30)= 60x −1800. ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 综合演练 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤ x ≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60， 70k+b=20. ∴ ∴y =−2x +160（50≤x≤70）. 解得： k =−2， b = 160. 综合演练 ∴Q=(x −30)y =(x −30)(−2x + 160) =−2x2 + 220x − 4800 = −2(x −55)2 +1250 (50≤ x ≤70) ∵a = −2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时 ，获利最大，最大利润是1250元. 综合演练 解：∵当40≤ x ≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤ x ≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：−2(x −55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1= −2x+160= −2×51+160= 58(件) （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 当x2=59时，y2= −2x+160= −2×59+160= 42(件) 综合演练 说一说 1、有关求商家利润最大问题如何去建立函数关系？ 2、如何去求自变量的取值范围？ 3、如何利用二次函数的性质求得最大值？ 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 $$