3_3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x 的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的零点. 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 知识点 1 二次函数的零点 必备知识 清单破 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.一元二次不等式的概念 　　只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的整式不等式. 2.一元二次不等式的一般形式 　    ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a,b,c均为常数,且a≠0). 知识点 2 一元二次不等式 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象       一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的 根 有两个相异的实 数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实 数根 x1=x2=-  没有实数根 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 一元二次 不等式的 解集 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞,x1)∪(x2,+ ∞)  ∪   R ax2+bx+c<0(a>0) (x1,x2) ⌀ ⌀ 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 　　注意:当一元二次不等式的二次项系数为负时,可化为正数再求解. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.mx2+5x>0一定是一元二次不等式吗? 2.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点是不是函数图象与x轴的交点? 3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R吗? 4. <0如何求解? ≤0的解集是什么? <2又如何求解? 知识辨析 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.不一定.当m=0时,为一元一次不等式;当m≠0时,为一元二次不等式. 2.不是.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点是函数图象与x轴的交点的横坐标. 3.不一定.方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,说明函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴无交点, 当a>0时,图象在x轴上方,不等式ax2+bx+c>0的解集为R;当a<0时,图象在x轴下方,不等式ax2+ bx+c>0的解集为⌀. 4.∵ <0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,故不等式 <0的解集为{x|1<x<2}; ≤0的解集 为{x|1≤x<2};将 <2移项、通分,并整理,得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等 式 <2的解集为{x|x>3或x<2}. 一语破的 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准:通过对不等式的变形,使不等号右侧为0,左侧的二次项系数为正. (2)判别式:对不等号左侧因式分解,若不易分解,则计算其对应方程的判别式. (3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图:根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图. (5)写解集:根据图象写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式 (1)不改变解题步骤. (2)根据运算的需要进行分类讨论: ①讨论二次项系数:当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数与0的大小关系,然后将不 关键能力 定点破 定点 1 一元二次不等式的解法 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式; ②讨论不等式对应方程根的个数:当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论 判别式Δ与0的关系; ③讨论两根的大小:确定方程有两根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念    解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 典例 思路点拨    因为二次项的系数a的符号不确定,所以需要对其进行分类讨论. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2. (2)当a<0时,设方程ax2-2(a+1)x+4=0的两根分别为x1,x2,则判别式Δ=4(a-1)2>0,x1=2,x2= ,且 < 2,所以不等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集为 . (3)当a>0时,设方程ax2-2(a+1)x+4=0的两根分别为x1,x2,则判别式Δ=4(a-1)2≥0,x1=2,x2= . ①若 <2,则a>1,不等式的解集为 x x< 或x>2 ; ②若 >2,则0<a<1,不等式的解集为 x x<2或x>  ; ③若 =2,则a=1,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时, 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 不等式的解集为 ;当0<a<1 时,不等式的解集为 x x<2或x>  ;当a=1时,不等 式的解集为{x|x∈R,且x≠2}. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    对于含参数的“一元二次不等式”,若二次项系数含参数,则先考虑二次项系数 的符号,其次考虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论, 分类要不重不漏. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.三个“二次”之间的关系 (1)在三个“二次”中,二次函数是主体,研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方 程和一元二次不等式的形式来解决. (2)研究一元二次方程和一元二次不等式时,要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数 的图象及性质来解决相关问题. 2.应用三个“二次”之间的关系解题的思路 　　已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0(a≠0))的解集求解其他不等式的解集时,一般 遵循:①根据解集判断二次项系数的符号和一元二次方程的根;②根据根与系数的关系把b,c 用a表示出来并代入所要解的不等式;③约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 定点 2 三个“二次”之间的关系 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-3,1),则不等式bx2+ax+c<0的解集为 (　    ) A.(1,2)　    B.(-1,2)　     C. 　    D.  典例 D 思路点拨    由不等式ax2+bx+c<0的解集知二次项系数a>0,由ax2+bx+c<0的解集的端点值确 定其对应的一元二次方程的根为1和-3,利用根与系数的关系解决问题. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    ∵ax2+bx+c<0的解集是(-3,1), ∴ ∴b=2a,c=-3a, 则不等式bx2+ax+c<0⇔2ax2+ax-3a<0, 即2x2+x-3<0,解得- <x<1, ∴不等式bx2+ax+c<0的解集是 . 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解决与一元二次不等式恒(能)成立的有关问题的方法 (1)将与一元二次不等式有关的问题转化为其所对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑 二次项系数和对应方程的判别式的符号这两方面. (2)将与一元二次不等式有关的问题转化为其对应的二次函数的最值问题,分离参数后,求相 应二次函数的最值,建立参数与这个最值的关系. 定点 3 一元二次不等式中的恒(能)成立问题 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念     (1)对于任意实数x,y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒为正值,则实数a的取值范围是　　　    ; (2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0成立,则实数m的取值范围是　　　    . 典例 (-4,4)  思路点拨    (1)y=(5-a)x2-6x+a+5的值恒为正值,即函数为一元二次函数,其图象开口向上,且和 x轴无交点. (2)根据图象知区间[m,m+1]的两端点对应的函数值均小于0. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得  解得-4<a<4. (2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图),   对任意x∈[m,m+1],都有y<0, 则有  解得- <m<0. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选择合适的字母表示题目中起关键作用的未知量; (2)根据题中信息构造不等关系或函数模型; (3)解一元二次不等式; (4)结合题目的实际意义确定答案. 定点 4 一元二次不等式的实际应用问题 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 某校计划靠一面墙(墙足够长)建一个长方形的植物角,如图所示,长方形的长(靠墙的一 边)为18 m,用栅栏围成四个相同的小长方形区域种植若干种植物. (1)若每个小长方形区域的面积为24 m2,要使围成四个区域的栅栏的总长度l(单位:m)最短,则 每个小长方形区域的长和宽分别是多少米?并求所用最短栅栏的长度; (2)若每个小长方形区域的长为x(x>2)m,宽为长的一半,每米栅栏的价格为5元,区域的重建费 用为每平方米10元,要使总费用y不超过180元,求x的取值范围.   典例 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设每个小长方形区域的长为a(0<a≤9) m,则宽为  m, ∵a> ,∴a>2 ,∴2 <a≤9, 则l=4a+6× =4a+ ≥2 =48(m),当且仅当4a= ,即a=6时等号成立,此时 =4, 故每个小长方形区域的长和宽分别为6 m和4 m时,所用最短栅栏的长度为48 m. (2)由题可知,每个小长方形区域的长为x m,则宽为  m,2<x≤9, 则四个相同的小长方形区域的面积为4x· =2x2(m2),栅栏的总长度l=4x+6× =7x(m), ∴y=10×2x2+5×7x=20x2+35x,2<x≤9,又总费用y不超过180元, ∴20x2+35x≤180,解得-4≤x≤ , 又∵2<x≤9,∴2<x≤ ,故当2<x≤ 时,总费用y不超过180元. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　三个“二次”中综合问题解题思路的探究,是以二次函数的图象为几何直观,通过其开 口方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等,对相关一元二次方程(不等式)进行定 量计算,进而解决相关问题. 学科素养 情境破 素养 通过三个“二次”问题发展直观想象的素养 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题    (多选)已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且a<b),下列结论正确的是 (        ) A.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集不可能为⌀ B.不等式a≤x2-4x-6≤b的解集可能为{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12} C.存在实数a,b,使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式 D.存在唯一一对实数对(a,b),使得不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为  CD 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    画出二次函数y=x2-4x-6=(x-2)2-10的图象,如图①.   图① 若b<-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为⌀,故A错误. 若a≤-10,b>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m<n)的形式,故C正确. 结合图②可知,若a>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念   因为二次函数y=x2-4x-6的图象的对称轴为直线x=2,所以 =2, =2. 因为 =2, =1≠2,故B错误. 对于D,如图③所示, 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念   若不等式的解集为 ,则a≤-10,b>-10,且方程x2-4x-6=b的两根分别为 ,b,故b2-4b-6 =b,解得b=-1或b=6,又 <2<b,所以b=6.易得 +b=4,所以a=-12,满足题意.故a=-12,b=6,故D正 确. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　直观想象在高中数学中具有以下四个特性:一是经验性,如本题中函数y=x2-4x-6的图象 是抛物线(如图①),由最小值可判断选项A、C是否正确;二是整体性,由函数图象可得到性质, 形成网络清晰、融会贯通的数学知识结构,如由图象的对称性可以判断选项B是否正确;三是 逻辑性,直观想象素养借助几何直观体现事物形态与变化,建立数与形的联系,其必然表现出 一定的逻辑性,在本题中,解决选项D时,由函数的图象得到一元二次方程的两根,进而解决一 元二次不等式的解集问题;四是预见性,直观想象的结果通常会表现出新的突破,带有极强的 创造性,直接预测问题的结论,如下面拓展中的问题. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 拓展问题　已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a<b),是否存在实数a,当b=a+1时,不 等式的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形式,且n1-m1=1? 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由例题中的图②可知a>-10,当b=a+1时,随着a的增大,n1-m1的值越来越小,因此从求n1- m1的最值入手. 依题意得,x2-4x-6=a的两根分别为n1,n2,x2-4x-6=a+1的两根分别为m1,m2, 则n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a, 所以n1-n2=- ,m1-m2=- , 因此n1-m1=  = = , 结合a>-10可得n1-m1<1. 故不存在实数a,使得当b=a+1时,不等式的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形 式,且n1-m1=1. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$