3_1 不等式的基本性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

　　性质1:若a>b,则b<a. 　　性质2:若a>b,b>c,则a>c. 　　性质3:若a>b,则a+c>b+c. 　　性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc. 　　性质5:若a>b,c>d,则a+c>b+d. 　　性质6:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 　　特别地,若a>b>0,则an>bn(n∈N*). 3.1 不等式的基本性质 知识点 不等式的基本性质 必备知识 清单破 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.对任意的x∈R,如何判断x2与2x-3的大小? 2.在应用性质2时,如果两个同向不等式中有一个带等号,而另一个不带等号,如何传递? 3.a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,由a>b能否得到ac>bc? 4.同向不等式相加与相乘的条件是不是一致的? 知识辨析 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用作差法判断:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x+3. 2.不等关系能传递,等号不能传递.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c. 3.不能.在不等式中,若a>b,则当c>0时,ac>bc;当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac<bc. 4.不是.相乘需是正数,即 而相加只需同向,与正、负和零均无关系. 一语破的 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 比较实数(代数式)的大小 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b; a-b<0⇔a<b; a-b=0⇔a=b a>0,b>0且 >1⇒a>b;a>0,b>0 且 <1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数(式)比较大小 步骤 ①作差; ②变形; ③判断符号; ④下结论 ①作商; ②变形; ③判断商与1的大小关系; ④下结论 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 作差比较法 作商比较法 变形 技巧 ①分解因式; ②平方后作差; ③配方法; ④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　已知a,b为正实数,试比较 + 与 + 的大小. 典例     解法一(作差法): -( + ) = +  = + =  = . ∵a,b为正实数,∴ + >0, >0, 又( - )2≥0, ∴ ≥0, ∴ + ≥ + . 解析： 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 解法二(作商法): =  = =  = =1+ ≥1. ∵ + >0, + >0, ∴ + ≥ + . 解法三(平方后作差): -( + )2 = + +2 -(a+b+2 ) 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 = . ∵a>0,b>0, ∴ ≥0, ∴ ≥( + )2, 又 + >0, + >0, ∴ + ≥ + . 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    作差法是比较大小最常见的方法,其关键有两点:一是“变形”,整式的变形有因 式分解、配方(二次式),分式可进行通分,根式可进行有理化等;二是判断符号,要能利用条件 判断出各个部分的符号. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题,对于 这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”,但这种转化不是等价变形,在一个解题过 程中多次进行这种转化后,就有可能扩大真实的取值范围.解决此类问题,可先建立待求范围 的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围. 定点 2 利用不等式的性质求代数式的取值范围 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5. (1)求a,c的取值范围; (2)求9a-c的取值范围. 典例     (1)设a-c=x,4a-c=y,则-4≤x≤-1,-1≤y≤5,a= ,c= . 由-4≤x≤-1,得1≤-x≤4,4≤-4x≤16,又-1≤y≤5, 所以0≤ ≤3,1≤ ≤7, 即a的取值范围是0≤a≤3,c的取值范围是1≤c≤7. (2)设9a-c=m(a-c)+n(4a-c), 则9a-c=(m+4n)a-(m+n)c, 所以 解得  解析： 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 即9a-c=- (a-c)+ (4a-c). 由-4≤a-c≤-1,得 ≤- (a-c)≤ . 由-1≤4a-c≤5,得- ≤ (4a-c)≤ . 所以-1≤9a-c≤20. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形,变形时,一要考 虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系,二要考虑变形要等价,三要注意性质使用 的前提条件. 定点 3 利用不等式的性质证明不等式 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念     (1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac<e-bc; (2)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤ . 典例    (1)由a>b,c>0可推出-ac<-bc,再与e>f相加,即可得证. (2)已知不等式是乘积形式,可通过因式分解恒等变形,利用不等式性质即可得证. 思路点拨：    (1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc. 又e>f,∴f-ac<e-bc. (2)∵bc-ad≥0,∴bc≥ad, ∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b), 又bd>0, ∴ ≥ ,即 ≤ . 证明： 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    应用不等式的性质解题时,要注意不等式性质成立的条件,不要忽视条件或随意 仿照等式性质“构造”性质与法则. 第3章　不等式 第1讲　描述运动的基本概念 $$