2_3 全称量词命题与存在量词命题（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

2.3 全称量词命题与存在量词命题 知识点 1 全称量词与全称量词命题 必备知识 清单破 全称 量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x” 全称量 词命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题.一般形式可表示为∀x∈M,p(x) 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 存在量词与存在量词命题 存在 量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x” 存在量 词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题.一般形式可表示为∃x∈M,p(x) 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.全称量词命题与存在量词命题的否定 知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定 类型 符号表示 否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 全称量词命题 2.命题否定的真假 　　对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题不能同时为真,也不能同时为 假,即它们的关系是“一真一假”或“此假彼真”. 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题还是存在量词命题? 2.在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略? 3.命题“菱形的对角线互相垂直平分”的否定是什么?真假性呢? 4.一个存在量词命题可以包含多个变量吗? 知识辨析 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.全称量词命题.量词“所有”省略了. 2.存在量词命题中,量词不能省略;有些全称量词命题的量词在不影响理解题意的情况下可以 省略. 3.“菱形的对角线互相垂直平分”是指“菱形的对角线互相垂直且互相平分”,其否定为 “菱形的对角线不互相垂直或不互相平分”.易知原命题为真命题,所以其否定为假命题. 4.可以.如∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2. 一语破的 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 1.要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个元素x验证p(x)成 立.但要判定该命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使p(x)不成立即可.要判定存在 量词命题“∃x∈M,p(x)成立”是真命题,只需在集合M中找到一个x=x0,使p(x)成立即可;否则, 这一命题就是假命题. 2.命题与命题的否定的真假性相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题的 真假来得出命题的否定的真假. 常用的正面叙述词语和它的否定词语: 关键能力 定点破 定点 1 全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 原词语 等于(=) 小于(<) 都是 否定词语 不等于(≠) 不小于(≥) 不都是 原词语 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定词语 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)∀x∈R,|x|=x; (2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点; (3)实数的绝对值是正数; (4)∃x,y∈Z,使得 x+y=3. 典例     写出命题的否定:找到命题含有的量词,变换量词,否定结论.判断真假:一是直接 判断;二是利用命题与命题的否定真假相反进行判断. 思路点拨： 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念     (1)命题的否定是“∃x∈R,|x|≠x”.若x=-1,则|-1|≠-1,所以命题的否定是真命题. (2)命题的否定是“所有二次函数的图象与x轴都有交点”.如二次函数y=x2+2x+2,因为x2+2x+ 2=(x+1)2+1>0,所以∀x∈R,y=x2+2x+2≠0,所以命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“存在一个实数,它的绝对值不是正数”.如0的绝对值是0,所以命题的否定 是真命题. (4)命题的否定是“∀x,y∈Z, x+y≠3”.当x=0,y=3时, x+y=3,所以命题的否定是假命题. 解析： 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解决含有量词的命题中的参数问题的思路 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”求参的问题,一般为“恒成立”问题,通常转化 为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin);对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)” 求参的问题,一般为“有解”问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a< ymax). (2)对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,即把与命 题p有关的问题转化成与命题¬p有关的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就 是“补集思想”的应用. 定点 2 含有量词的命题中的参数问题 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　已知命题p:∀x∈R,x2+2x+a≥0,命题q:∃x∈ ,x2-a≥0.若命题p和q至少有一 个为真命题,求实数a的取值范围. 典例    本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以可从结论的反面入手,即考虑p,q均 为假命题的情况,然后求其补集. 思路点拨： 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念     命题p和q至少有一个为真命题的否定为命题p和q均为假命题. 当命题p为假命题时,其否定“∃x∈R,x2+2x+a<0”为真命题,令y1=x2+2x+a,则(y1)min<0,故a-1< 0,即a<1. 当命题q为假命题时,其否定“∀x∈ x 0≤x≤  ,x2-a<0”为真命题, 令y2=x2-a,则(y2)max<0在x∈ 上恒成立,即a>(x2)max在x∈ 上恒成立,故a> .所以当p,q均 为假命题时,实数a的取值范围为 <a<1.故当命题p和q至少有一个为真命题时,实数a的取值 范围为 a a≤ 或a≥1 . 解析： 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达与交流的工具.正确使用充分、必要 条件等逻辑用语表达数学对象、进行数学推理,可以提高交流的逻辑性和准确性. 学科素养 情境破 素养 通过充分、必要条件的使用发展逻辑推理的素养 素养解读 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 　给出下列三个条件:①充分不必要;②必要不充分;③充要.请从中选择一个条件补充到 下面的横线上并解答. 已知集合P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x<1+m},是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的     　　　　　　　    条件?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 例题 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    若选择①,即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件,则P⫋S,∴ 解得m> 3,即实数m的取值范围为{m|m>3}. 若选择②,即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,则S⫋P. 当S=⌀时,1-m≥1+m,解得m≤0,满足要求; 当S≠⌀时,则有 无解. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤0}. 若选择③,即“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,易知无法成立,则不存在实数m,使得“x ∈P”是“x∈S”的充要条件. 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 　　在解题中要做到能够辨析哪些条件是充分不必要的,哪些条件是必要不充分的,哪些条 件是充分必要的,哪些条件是既不充分又不必要的,并能用严谨的数学语言将充分、必要条 件转化为集合间的关系,加深对逻辑用语的认识,提升逻辑推理的素养. 思维升华 第2章　常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 $$