1_3 交集、并集（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

1.3 交集、并集 知识点 1 交集与并集 必备知识 清单破 交集 并集 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图形语言     第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 交集 并集 运算性质 A∩B=B∩A; A∩A=A; A∩⌀=⌀=⌀∩A; (A∩B)⊆A; (A∩B)⊆B; A⊆B⇔A∩B=A A∪B=B∪A; A∪A=A; A∪⌀=A=⌀∪A; A⊆(A∪B); B⊆(A∪B); A⊆B⇔A∪B=B 知识拓展　德·摩根定律 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB); (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 　　设a,b∈R,且a<b,规定[a,b]叫作闭区间;(a,b)叫作开区间;[a,b),(a,b]叫作半开半闭区间;a,b 叫作相应区间的端点. 　　在数轴上表示时,闭区间用实心圆点表示,开区间用空心圆圈表示. 知识点 2 区间 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和相等吗? 2.当集合A与B没有公共元素时,A与B就没有交集吗? 3.区间是数集的另一种表示方法,任何数集都能用区间表示吗? 知识辨析 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.不一定.当A和B有公共元素时,公共元素在A∪B中只能出现一次,故只有A和B无公共元素 时,才相等. 2.不是.当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而应说A∩B=⌀.因为空集是任何 集合的子集,所以任何两个集合都存在交集. 3.不是.如集合{0,1}不能用区间表示. 一语破的 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 1.在进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再根据运算顺序依次进行运算. 2.集合的混合运算的分类 (1)有限集(或可以列举的无限集)的运算,运用列举法,按照运算的定义进行运算,注意集合中 元素的互异性; (2)与不等式有关的无限集的运算,借助数轴,按照运算的定义进行运算,注意是否去掉端点值; (3)抽象集的运算,利用Venn图,借助直观图形,按照运算的定义进行运算. 关键能力 定点破 定点 1 集合的混合运算 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 (1)设全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x≤-2或x>6},则A∩(∁UB)=(　    ) A.{x|x<2}　     B.{x|2≤x≤6} C.{x|-2<x<2}　    D.{x|-2<x≤6} (2)设全集U=R,A={x|x≤1},B={x|-1<x<2},则图中阴影部分对应的集合为 (　    )   A.{x|x≥1}　    B.{x|1≤x<2} C.{x|x>1}　     D.{x|1<x<2} 典例 C D 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念     (1)根据补集和交集运算的定义求解.(2)由题中Venn图知阴影部分所表示的集合 为(∁UA)∩B,进而得到结果. 思路点拨：     (1)∵全集U=R,B={x|x≤-2或x>6},∴∁UB={x|-2<x≤6}, ∵A={x|x<2},∴A∩(∁UB)={x|-2<x<2}. 故选C. (2)题图中阴影部分表示的集合中的元素在集合B中,但不在集合A中,故该集合为(∁UA)∩B. ∵全集U=R,A={x|x≤1}, ∴∁UA={x|x>1}, 又B={x|-1<x<2}, ∴(∁UA)∩B={x|1<x<2}, ∴题图中阴影部分对应的集合为{x|1<x<2}. 故选D. 解析： 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 由集合间的运算关系求参的思路 (1)将集合间的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列 举,则可用观察法;若集合与不等式有关,则可用数轴求解. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组),求解即可.在求解时注意集合中元素的互 异性和空集的特殊性. 定点 2 已知集合间的运算关系求参 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实 数a的值及m的取值范围. 典例    根据A∪B=A,可知B⊆A,求出实数a的值;由A∩C=C,可得C⊆A,则可分为C=A、C =⌀、C⫋A(C是非空集合)三种情况讨论求解. 思路点拨： 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念     由已知得A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}. 由A∪B=A,得B⊆A, 所以a-1=2或a-1=1. 当a-1=2,即a=3时,A=B,满足A∪B=A; 当a-1=1,即a=2时,B={1},满足A∪B=A. 故a=3或a=2. 由A∩C=C,得C⊆A, 所以C=A或C=⌀或C⫋A(C是非空集合). 当C=A时,m=3; 当C=⌀时,由Δ=m2-8<0,得-2 <m<2 ; 当C⫋A(C是非空集合)时,C={1}或{2}, 解析： 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 若C={1},则12-m×1+2=0,解得m=3, 此时C={1,2}≠{1},舍去; 若C={2},则22-m×2+2=0,解得m=3, 此时C={1,2}≠{2},舍去. 故m=3或-2 <m<2 . 综上,a=3或a=2,m=3或-2 <m<2 . 方法点拨    解决含参数的集合的子集问题时,一要合理转化对应集合的关系,二要分子集是 空集和不是空集两种情况讨论,当子集不是空集时,借助数轴列不等式(组)解题,准确对参数 分类是解题的要点. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 素养解读 　　集合是现代数学的基本语言,本质上,集合源于对数量与数量关系的抽象,集合的概念就 是舍去事物的一切物理属性,得到抽象的数学结构,是数量与数量关系抽象的更高层次. 学科素养 情境破 素养 通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 已知集合B= ,C={-3,-2,-1},D={x|x2+4tx+3t2=0},且集合D满足D∩B=⌀,D ∩C≠⌀. (1)求实数t的值; (2)已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥1),其中ai∈Z(i=1,2,…,k),定义集合S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b ∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对任意的a∈A,总 有-a∉A,则称集合A具有性质P. ①集合B∪C与C∪D是否具有性质P?若有,写出相应的集合S和T;若没有,请说明理由; ②试判断m和n的大小关系,并证明你的结论. 典例 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取    ①集合D与集合B中无相同元素,集合D与集合C中有相同元素;②集合S:代表元素 (a,b)中的a,b属于A,且a+b仍属于A;集合T:代表元素(a,b)中的a,b属于A,且a-b仍属于A;③具有 性质P:集合中元素的相反数不属于该集合. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)易得B= x∈Z -2≤x≤  ={-2,-1,0},D={x|x2+4tx+3t2=0}={-t,-3t}. 因为D∩B=⌀, 所以-1∉D,-2∉D,0∉D. 因为C={-3,-2,-1},D∩C≠⌀, 所以-3∈D, 所以-t=-3或-3t=-3,解得t=3或t=1. 当t=3时,D={-3,-9},满足题意; 当t=1时,D={-1,-3},不满足D∩B=⌀,舍去. 综上,t=3. (2)①由(1)知B∪C={-3,-2,-1,0},C∪D={-9,-3,-2,-1}. 因为0∈(B∪C),-0∈(B∪C), 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 所以B∪C不具有性质P. 因为C∪D={-9,-3,-2,-1}满足对任意的a∈(C∪D),总有-a∉(C∪D), 所以C∪D具有性质P,且集合S={(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)},集合T={(-2,-1),(-3,-2),(-3,-1)}. ②m=n.证明如下: 若(a,b)∈S,则a∈A,b∈A且a+b∈A,从而有(a+b,b)∈T. 若(a,b),(c,d)为S中不同的元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,即a+b=c+d,b=d中至少有一个 不成立,即(a+b,b),(c+d,d)也是T中不同的元素,故m≤n. 若(a,b)∈T,则a∈A,b∈A且a-b∈A,从而有(a-b,b)∈S. 若(a,b),(c,d)为T中不同的元素,则a=c,b=d中至少有一个不成立,即a-b=c-d,b=d中至少有一个 不成立,即(a-b,b),(c-d,d)也是S中不同的元素,故m≥n. 综上,m=n. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程.集合中的新定义问题 能很好地体现数学抽象与数学运算的素养水平,此类问题不是简单考查集合的概念或性质 (集合中元素的特性、集合的运算性质等),而是以集合为载体,通过定义新概念、新法则、新 运算等,理解符号所代表的数量关系和变化规律,并能运用集合的性质进行符号间的转化. 第1章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 $$