6_3 对数函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

　　一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞). 6.3 对数函数 知识点 1 对数函数的概念 必备知识 清单破 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 对数函数的图象与性质 对数函数 y=logax(a>0,a≠1) a>1 0<a<1 图象     性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 图象过点(1,0) 增函数;当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0 减函数;当0<x<1时,y>0;当x>1时,y<0 　　注意:对数函数y=logax与y=lo x(a>0,a≠1)的图象关于x轴对称. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.平移变换 　　对数函数图象的平移变换同指数函数图象的平移变换,满足“左加右减,上加下减”的 原则. 2.对称变换(a>0,a≠1) (1)函数y=logax的图象与函数y=-logax(即y=lo x)的图象关于x轴对称; (2)函数y=logax的图象与函数y=loga(-x)的图象关于y轴对称; (3)函数y=logax的图象与函数y=-loga(-x)的图象关于原点对称. 知识点 3 对数函数图象的变换 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　当a>0,a≠1时,y=logax称为y=ax的反函数.反之,y=ax也称为y=logax的反函数.一般地,如果 函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f -1(x). 知识点 4 反函数 知识拓展    (1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.(2)互为反函数 的两个函数的定义域和值域正好互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.函数y=3log2x,y=log2(x+1),y=logx5是否都是对数函数? 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象位置有何特点? 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是不是单调函数? 4.任意一个函数都有反函数吗? 知识辨析 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.都不是.对数函数的解析式的结构特征:①底数a为大于0且不等于1的常数;②真数是自变量 x,且x的系数是1;③logax的系数是1.在y=3log2x中,log2x的系数为3,不是1;在y=log2(x+1)中,真数 位置不是x;在y=logx5中,底数不是常数,真数不是自变量. 2.函数图象在y轴的右侧,且恒过点(1,0). 3.是.当a>1时,该函数在(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,该函数在(0,+∞)上单调递减. 4.不一定.只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数. 一语破的 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.对数型函数图象过定点问题 　　求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定 点为(x,m). 2.根据对数函数图象判断底数大小的方法 　　作直线y=1,与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右, 图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小. 3.函数图象的变换规律 (1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a| 个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 关键能力 定点破 定点 1 对数(型)函数的图象及其应用 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念     (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 (　    )   典例 (2)设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是　　　    . 思路点拨    (1)可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结 合单调性来判断. (2)根据题意作出函数y=|lg x|的图象和直线y=c,观察图象即可求解. B （0，1） 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:若0<a<1,则函数y=ax在其定义域上单调递减且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件;若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点 (-1,0),只有B满足条件. 解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;y=ax与y= loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B. (2)由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函数y=|lg x|的图象 与直线y=c,如图所示, 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 结合图象可知,0<c<lg 10=1,|lg a|=|lg b|=c,又a<b<10,∴-lg a=lg b=c,∴ab=1, ∴abc的取值范围是(0,1). 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 比较对数值大小的类型及方法 (1)底数相同,真数不同:利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同,真数相同:利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同,真数不同:利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 定点 2 比较对数值的大小 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 设a=log2 ,b=log3 ,c=lo  ,则a,b,c的大小关系是 (　    ) A.c>b>a　    B.c>a>b C.a>c>b　    D.a>b>c 典例 解析    a=log2 =log23-1,b=log3 =log34-1,c=lo  =log34. ∵log23=lo 33=log827,log34=lo 42=log916,log827>log927>log916, ∴log23>log34,∴log23-1>log34-1,即a>b. ∵log23<log24=2,∴log23-1<1,又log34>log33=1,∴log34>log23-1,即c>a.∴c>a>b. B 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 简单对数不等式的解法 (1)形如loga f(x)>logab(a>0,且a≠1)的不等式,借助函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如 果a的取值不确定,则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论; (2)形如loga f(x)>b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab), 借助函数的单调性求解; (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 定点 3 解对数不等式 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　解下列关于x的不等式: (1)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0,且a≠1); (2)logx >1. 典例 思路点拨    根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解,底数含字母时要注意分类 讨论. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时,原不等式等价于  解得 <x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0<a<1时,原不等式的解集为 . (2)当x>1时,由logx >1=logxx,解得0<x< ,此时无解; 当0<x<1时,由logx >1=logxx,解得x> ,所以 <x<1. 综上,原不等式的解集为 . 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    解含有对数的不等式常用到对数函数的单调性,去对数符号时还要注意函数的定 义域,解题时防止用错单调性,忽视定义域导致错误. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.对数型函数的定义域 求对数型函数的定义域时,除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外,还要保证对数的 真数大于0,底数大于0且不等于1. 2.求对数型函数的值域的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,直接得出函数的值域. (2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0,a≠ 1))时,可以用配方法求函数的值域. (3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域. (4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1, f(x)>0)的函数的值域时,先换元,令u=f(x),利用函数的 图象和性质求出u的范围,再利用y=logau(a>0,且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 定点 4 与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念     (1)求函数y= 的定义域; (2)求函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域. 典例 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得  解得x<-1- 或-1- <x<-3或x≥2, 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞). (2)由题意得-x2+3x+4>0,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4,所以函数的定义域为(-1,4). 设f(x)=-x2+3x+4=- + ,x∈(-1,4),则当x∈ 时, f(x)单调递增;当x∈ 时,f(x)单 调递减,所以当x= 时,f(x)有最大值 , 又f(-1)=f(4)=0,所以0<f(x)≤ . 因为对数函数y=log0.4x在定义域内为减函数,所以y≥log0.4 =-2,所以函数y=log0.4(-x2+3x+4)的 值域为[-2,+∞). 易错警示    解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因忽视定义域导致解题错误. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.“定义域优先”原则 单调区间是定义域的子集. 2.与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 形如y=loga f(x)(a>0,a≠1, f(x)>0)的复合函数,当a>1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相 同;当0<a<1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数,一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律 判断,即令t=logax(a>0,a≠1),只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 定点 5 与对数函数有关的函数的单调性 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　函数f(x)=lo (-x2-2x+3)的单调递减区间为 (　    ) A.(-∞,-1]　    B.(-3,-1] C.[-1,1)　    D.[-1,+∞) 典例1 思路点拨    先求出函数f(x)的定义域,再根据复合函数单调性“同增异减”的规律求解. B 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得-x2-2x+3>0,即x2+2x-3<0,解得-3<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-3,1).令t=-x2-2x +3,x∈(-3,1), 易知函数y=lo t在(0,+∞)上单调递减, 所以由复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.易 知函数t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,所以t=-x2-2x+3的单调递增区 间为(-3,-1]. 故函数f(x)的单调递减区间为(-3,-1]. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1?如果存在,求出a的 值;如果不存在,请说明理由. 典例2 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设t(x)=3-ax, ∵a>0,∴t(x)=3-ax在R上为减函数, ∴当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0,2]时, f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< . 又a>0且a≠1, ∴实数a的取值范围是(0,1)∪ . (2)不存在.理由如下:假设存在实数a. 由(1)知函数t(x)=3-ax在R上为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减, ∴y=logat在区间[1,2]上单调递增,∴a>1. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a), ∴ 即 无解. 故不存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,并且最大值为1. 易错警示    解决与对数函数有关的函数的单调性问题时,首先要确定函数的定义域,再根据 “同增异减”规律判断函数的单调性. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是进行数学推理、构建抽象 结构的思维基础,本质上是将相对复杂、抽象的问题“图形化”,建立形与数的联系. 学科素养 情境破 素养 通过幂函数、指数函数、对数函数的知识发展直观想象的素养 素养解读 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 已知函数f(x)=log2x+1,g(x)=2x-2. (1)求函数F(x)=[f(x)]2-af(x2)+1(a∈R)在区间[2,4]上的最大值; (2)若函数h(x)=g(f(x)),且函数y= h(|g(x)|)-1的图象与函数y=4b- -1的图象有3个不同的交 点,求实数b的取值范围. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)F(x)=[f(x)]2-af(x2)+1=(log2x+1)2-a(log2x2+1)+1=(log2x)2+2(1-a)·log2x+2-a,令t=log2x,x∈[2,4],则1≤t≤2, y=t2+2(1-a)t+2-a,其图象开口向上,对称轴为直线t=a-1, 当a-1≤ ,即a≤ 时,y=t2+2(1-a)t+2-a,t∈[1,2]在t=2处取得最大值,即F(x)max=22+4(1-a)+2-a=10 -5a; 当a-1> ,即a> 时,y=t2+2(1-a)t+2-a,t∈[1,2]在t=1处取得最大值,即F(x)max=12+2(1-a)+2-a=5- 3a. (2)h(x)=g(f(x))= -2=2x-2. 令m=|g(x)|(m≥0), 则y= h(|g(x)|)-1=|g(x)|-2=m-2, 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 y=4b- -1=4b- -1, 令m-2=4b- -1,整理,得m2-(1+4b)m+3b+2=0①. 作出函数m=|g(x)|=|2x-2|的图象,如图所示:   ∵函数y= h(|g(x)|)-1的图象与函数y=4b- -1的图象有3个不同的交点, ∴①式有两个根,且一根在区间(0,2)内,另一根为0或在区间[2,+∞)内. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 当m=0时,3b+2=0,解得b=- , ∴m2+ m=0,解得m=0或m=- (舍去),不符合题意, ∴①式的一根在区间(0,2)内,另一根在区间[2,+∞)内.设φ(m)=m2-(1+4b)m+3b+2,则有  或  即 或 所以b> , ∴实数b的取值范围为 . 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　直观想象主要是利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事 物,形成数学直观.在本章中,这就要求我们能够准确掌握幂函数、指数函数、对数函数的图 象与性质,通过“数形结合”解决相关问题. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$