7_3_3 函数y=Asin(ωx+φ)（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

1.φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 　　一般地,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有的点向左 (当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到的. 2.A(A>0且A≠1)对y=Asin x的图象的影响 　　一般地,函数y=Asin x(A>0且A≠1)的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的纵 坐标变为原来的A倍(横坐标不变)而得到的. 3.ω(ω>0且ω≠1)对y=sin ωx的图象的影响 　　一般地,函数y=sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的横 7.3 三角函数的图象和性质 知识点 1 参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ) 必备知识 清单破 坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)而得到的. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.先平移后伸缩 　    y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象  y=sin(ωx+φ)的图象  y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.先伸缩后平移 　    y=sin x的图象  y=sin ωx的图象 y= 知识点 2 y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的过程 sin(ωx+φ)的图象  y=Asin(ωx+φ)的图象. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    在图象变换过程中,横向的伸缩和左右平移仅针对x而言,如果x前面有系数ω,需 要先把系数ω提出来,再进行变换. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 (1)先作出一个周期的图象,令X=ωx+φ,X分别取0, ,π, ,2π,并求出对应的x和y的值,列表如 下: 知识点 3 函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0)图象的画法(“五点法”) X=ωx+φ 0   π   2π x -          y=Asin(ωx +φ) 0 A 0 -A 0 (2)描点画图,结合函数的周期性,可得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象, 对吗? 2.把函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象,对吗? 3.利用图象变换作图时,“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”中平移的长度一定不同吗? 知识辨析 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.不对.应得到y=sin  x的图象. 2.不对.应得到y=sin =sin =cos 2x的图象. 3.不一定.当ω=1时,平移的长度相同,当ω≠1时,平移的长度不同. 一语破的 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　在三角函数图象的变换中,应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数, 再根据平移和伸缩变换得出最终结果.在平移和伸缩变换中,可以先平移后伸缩,也可以先伸 缩后平移,但是在两种变换次序中,平移的量一般是不同的,先平移后伸缩,平移的量是|φ|个单 位长度;先伸缩后平移,平移的量是 个单位长度. 关键能力 定点破 定点 1 三角函数图象的变换 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 已知函数f(x)=sin (x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图 象,只需将f(x)的图象 (　    ) A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 典例1 A 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析:    因为函数f(x)=sin 的最小正周期为π,所以ω= =2, 所以f(x)=sin ,g(x)=cos ωx=cos 2x=sin =sin , 所以只需将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度即可得到函数g(x)的图象.故选A. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 函数y= sin + 的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到? 典例2 思路点拨    思路一:先平移变换,再伸缩变换;思路二:先伸缩变换,再平移变换. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:把函数y=sin x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象; 把得到的函数图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 的 图象; 把得到的函数图象上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变),得到函数y= sin 的 图象; 把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin + 的图象. 解法二:把函数y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 2x 的图象; 把得到的函数图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象; 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 把得到的函数图象上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变),得到函数y= sin 的 图象; 把得到的函数图象向上平移 个单位长度,得到函数y= sin  + 的图象. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 根据三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的方法 (1)逐一定参法 ①A的确定:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. ②ω的确定:因为T= ,所以常通过周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心、相邻的两 条对称轴之间的距离均为 ,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ,相邻的两个最大(小) 值对应的点的横坐标之差的绝对值为T,相邻的最大值与最小值对应的点的横坐标之差的绝 对值为 . ③φ的确定:i.把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A,ω已知),求得φ;ii.以“五 点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口来确定φ,注意要根据图象的升降情况 定点 2 根据图象求三角函数的解析式 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 找准第一个点的位置. 　　依据“五点法”作图,点的序号与式子的对应关系如下: 　　“第一点”(即图象上升时与x轴的交点):ωx+φ=0; 　　“第二点”(即图象的“峰点”):ωx+φ= ; 　　“第三点”(即图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π; 　　“第四点”(即图象的“谷点”):ωx+φ= ; 　　“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点):ωx+φ=2π. 　　在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过 周期性转化到要求范围内. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 (2)待定系数法 将图象上若干已知点的坐标代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的 是,若选择的点属于五个点中的某一个点,则要认清它具体对应五点中的哪一个点. (3)图象变换法 运用逆向思维,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数. 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 函数y=Asin(ωx+φ)   A>0,ω>0,|φ|<  的图象的一部分如图所示,求此函数的解析式.   典例 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析：    解法一(逐一定参法):由题图知A=3,T= - =π,∴ω= =2, ∴y=3sin(2x+φ).∵点 在函数图象上,∴0=3sin , ∴- ×2+φ=kπ(k∈Z),得φ= +kπ(k∈Z).∵|φ|< ,∴φ= ,∴y=3sin . 解法二(待定系数法):由题图知A=3. ∵图象过点 和点 , ∴ 解得  ∴y=3sin . 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 解法三(图象变换法):由题图知A=3,T= - =π,∴ω= =2, 又点 在函数图象上, ∴函数图象是由y=3sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到的, ∴y=3sin ,即y=3sin . 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质的基本策略 (1)将所给函数的解析式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式; (2)熟记正弦函数y=sin x的图象与基本性质; (3)充分利用整体代换思想解决问题; (4)熟记有关y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、单调性及其图象的对称性等重要结论. 定点 3 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 已知点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ) A>0,ω>0,- <φ<0 的图象上的任意 两点, f(0)=- ,当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为 . (1)求f  的值; (2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 倍,得到函数h(x)的图象, 再将函数h(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象.求函数g(x)在区间  上的值域; (3)当x∈ 时,不等式c<f(x)<c+4恒成立,求实数c的取值范围. 典例 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析:    (1)由 得φ=- , ∵当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为 , ∴ T= = ,又ω>0,∴ω=2, ∴f(x)=2sin ,∴f  =2sin = . (2)由(1)知, f(x)=2sin , 将函数f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 倍,得到函数h(x)=2sin 的图象,再将函数h(x)=2sin 的图象向左平移 个单位长度,得到g(x)=2sin 的图象, 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念   ∵x∈ ,∴4x+ ∈[-π,π], ∴-1≤sin ≤1, ∴-2≤2sin ≤2, 故函数g(x)在区间 上的值域为[-2,2]. (3)由(1)知, f(x)=2sin , ∵x∈ ,∴2x- ∈ , 此时f(x)min=- , f(x)max=1, 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 ∵不等式c<f(x)<c+4恒成立, ∴ 即 解得-3<c<- , 故实数c的取值范围是(-3,- ). 第7章　三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$