1.2.2 充分条件和必要条件（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

1.2.2　充分条件和必要条件 基础过关练 题组一　充分条件、必要条件、充要条件的判定 1.设p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数,则p是q成立的(　　) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 2.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解 4.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是(　　) A.若两个三角形全等,则这两个三角形相似 B.若x>5,则x>10 C.若ac=bc,则a=b D.若0<x<5,则|x-1|<1 5.有下列陈述句:①a<0或b<0;②a<0且b<1;③a<-1且b<0;④a<0或b<-1,其中能成为“a<0且b<0”的必要而不充分条件的是　　　　.(填序号)  题组二　充分条件、必要条件与充要条件的应用 6.已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要而不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≥8}　　　　B.{m|m>8} C.{m|m>-4}　　　　D.{m|m≥-4} 7.已知条件p:{x|x2+x-6=0},条件q:{x|mx+1=0,m为常数}且q是p的充分而不必要条件,则m的所有可能取值构成的集合是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 8.已知p:-3≤x≤1,q:x≤a(a为实数).若q的一个充分而不必要条件是p,则实数a的取值范围是　　　　.  9.设集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},其中a∈R. (1)若B=⌀,求a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围. 能力提升练 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.(多选)设全集为U,A,B为U的子集,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的有(　　) A.A∩B=A　　　　B.(∁UA)∩B=⌀ C.∁UA⊆∁UB　　　　D.A∪(∁UB)=U 2.已知a1,b1,a2,b2都是实数,设关于x的不等式a1x+b1>0的解集为A,关于x的不等式a2x+b2>0的解集为B,则“A=B”是“=”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.(多选)下面命题为真命题的是(　　) A.若a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的既不充分又不必要条件 B.“ac<0”是“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根”的充要条件 C.“m=2”是“M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集”的充分而不必要条件 D.“a>1”是“<1”的充分而不必要条件 题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 4.设m∈N+,则关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=　　　　.  5.若a,b都是实数,试从①ab=0,②a+b=0,③a(a2+b2)=0,④ab>0中选出所有适合的条件,并用序号填空: (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;   (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;   (3)“a,b中至少有一个为0”的充要条件是　　　　.  6.已知α:1≤x≤2,β:1≤x≤a. (1)若α是β的必要而不充分条件,求实数a的取值范围; (2)求证:a≥2是α⇒β成立的充要条件. 题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 7.已知命题p:关于x的方程x2-4x+a=0无实数根,若p为真命题的一个充分而不必要条件为“a>3m+1”,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥1}　　　　B.{m|m>1} C.{m|m<1}　　　　D.{m|m≤1} 8.已知集合A={x∈R|0<ax+1≤3,a≠0},集合B={x∈R|-1<x≤2}.若命题p:x∈A,命题q:x∈B,且p是q的充分而不必要条件,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　a,b都是偶数⇒a+b是偶数,但a+b是偶数⇒/a,b都是偶数, ∴p是q成立的充分而不必要条件.故选B. 2.C　A∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件. 3.D　对于A,可得p:x>1,q:x<1,故p⇒/q且q⇒/p,所以p是q的既不充分又不必要条件;对于B,p⇒q,但q⇒/p,所以p是q的充分而不必要条件;对于C,p⇒/q,但q⇒p,所以p是q的必要而不充分条件;对于D,显然p⇔q,所以p是q的充要条件.故选D. 4.BCD　对于A,若两个三角形全等,则这两个三角形一定相似,而两个相似的三角形却不一定全等,故A不符合; 对于B,x>5⇒/x>10,如6>5,但是6<10,反之成立,故B符合; 对于C,由ac=bc,无法得到a=b,如当c=0,a=1,b=2时,有ac=bc,但是a≠b,反之成立,故C符合; 对于D,若0<x<5,则-1<x-1<4,则|x-1|<4,故0<x<5⇒/|x-1|<1,而若|x-1|<1,则0<x<2,故|x-1|<1⇒0<x<5,故D符合. 故选BCD. 5.答案　①②④ 解析　由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<0”,反之则不行,故①正确; 由“a<0且b<0”可推出“a<0且b<1”,反之则不行,故②正确; 由“a<0且b<0”不可推出“a<-1且b<0”,反之则可行,故③是“a<0且b<0”的充分而不必要条件,故③错误; 由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<-1”,反之则不行,故④正确. 故答案为①②④. 6.B　由4x-m<0,得x<;由1≤3-x≤4,得-1≤x≤2. ∵p是q的一个必要而不充分条件,∴>2,∴m>8.故选B. 7.C　设A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+1=0,m为常数}, 由q是p的充分而不必要条件,可得B⫋A,则B为⌀或{-3}或{2}. ①若B=⌀,则m=0; ②若B={-3},则-3m+1=0,解得m=; ③若B={2},则2m+1=0,解得m=-. 所以m的所有可能取值构成的集合是.故选C. 8.答案　[1,+∞) 解析　设A=[-3,1],B=(-∞,a],由于q的一个充分而不必要条件是p,即p是q的一个充分而不必要条件,所以A⫋B,所以a≥1. 9.解析　(1)由B={x|2-a≤x≤1+2a}=⌀,得2-a>1+2a,解得a<, 故a的取值范围是. (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A.当B=⌀时,由(1)知a<,符合题意; 当B≠⌀时,解得≤a≤1. 综上,a的取值范围为(-∞,1]. 能力提升练 1.BCD　由韦恩图可知,B,C,D项都是B⊆A的充要条件,故选BCD. 2.D　当a1=b1=a2=b2=0时,A=B=⌀,但是不满足=, 所以“A=B”不是“=”的充分条件; 当a1=b1=0,a2≠0,b2≠0时,满足=,但此时A=⌀,B≠⌀,不满足A=B, 所以“A=B”不是“=”的必要条件. 综上所述,“A=B”是“=”的既不充分又不必要条件.故选D. 3.BCD　对于A,若a≠0,b=0,则ab=0,故a≠0⇒/ab≠0;若ab≠0,则a,b都不为0,故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件,故A为假命题. 对于B,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根,则两根之积为负,故<0,从而ac<0,故“ac<0”是“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根”的必要条件;若ac<0,则Δ=b2-4ac>0,<0,故方程有两个不相等的实数根且两根之积为负,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根,故“ac<0”是“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根”的充分条件. 综上,“ac<0”是“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根、一负根”的充要条件,故B为真命题. 对于C,若M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集,则当m=0时,M={-1},符合题意.当m≠0时,Δ=(m+2)2-8m=0,解得m=2,此时M={-1},符合题意.因此“m=2”是“M={x|mx2+(m+2)x+2=0}为单元素集”的充分而不必要条件,故C是真命题. 对于D,若a>1,则-1=<0,即<1;反之,若<1,则a>1或a<0.故“a>1”是“<1”的充分而不必要条件,故D是真命题.故选BCD. 4.答案　3或4 解析　易得方程x2-4x+m=0的根为x==2±,因为x是整数,即2±为整数,所以为整数,又m∈N+,所以m=3或m=4,反之,当m=3或m=4时,可以推出关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 5.答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0; ②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能一正一负; ③a(a2+b2)=0⇔a=0或 ④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0. 6.解析　(1)设A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}, 若α是β的必要而不充分条件,则B是A的真子集. 当B=⌀时,a<1,此时满足B是A的真子集; 当B≠⌀时,若B是A的真子集,则 所以1≤a<2. 综上,实数a的取值范围为{a|a<2}. (2)①证明充分性,即若a≥2,则α⇒β成立. 因为a≥2,所以{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}, 所以α⇒β,故充分性成立; ②证明必要性,即若α⇒β成立,则a≥2. 若α⇒β成立,则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}, 所以a≥2,故必要性成立. 综上,a≥2是α⇒β成立的充要条件. 7.B　当p为真命题时,有Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4. 若p为真命题的一个充分而不必要条件为“a>3m+1”,则{a|a>3m+1}⫋{a|a>4},∴3m+1>4,解得m>1.故选B. 8.解析　由题意得A⫋B. 由集合A,得-1<ax≤2.(*) ①当a>0时, 由(*)得A=≠⌀, 因为A⫋B,所以或 解得a>1. ②当a<0时, 由(*)式得A=≠⌀, 因为A⫋B,所以解得a<-2. 综上,实数a的取值范围是{a|a<-2或a>1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$