第3章 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

综合拔高练 高考真题练 考点1　函数的概念与表示 1.(2019江苏,4)函数y=的定义域是　　　　.  考点2　分段函数的应用 2.(2019课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 3.(2021浙江,12)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  4.(2018天津,14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　.  考点3　函数基本性质的综合运用 5.(2021全国乙文,9)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1 6.(2020天津,3)函数y=的图象大致为(　　) 7.(2020全国新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 8.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　) A.-　　　　B.-　　 C.　　　　D. 9.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3·(a2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  10.(2019浙江,16)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.对于函数f(x)=ax+,下列说法正确的是(　　) A.若a>0,b>0,则函数f(x)的最小值为2 B.若a>0,b>0,则函数f(x)的单调递增区间为∪ C.若a>0,b<0,则函数f(x)是单调函数 D.若a>0,b<0,则函数f(x)是奇函数 2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(　　) A.f(-3)<f(3)<f(4)　　　　B.f(-3)<f(4)<f(3) C.f(3)<f(4)<f(-3)　　　　D.f(4)<f(3)<f(-3) 3.(多选)对于函数f(x)=(x∈R),下列说法正确的是(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.当m∈(0,1)时,方程f(x)=m总有实数解 C.函数f(x)的值域为[-1,1] D.函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞) 4.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数 D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称 5.(多选)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是(　　) A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0 B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数 C.函数g(x)=在[0,+∞)上是“Ω函数” D.函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数” 6.已知f(x)=则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是　　　　.  7.若x,y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y), f(1)=1且函数y=f(x)在R上单调,则|f(x)|≤2的解集为　　　　.  8.设函数f(x)= (1)若存在非零实数x,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是　　　　;  (2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  迁移创新 9.对于定义在D1上的函数y=f(x)和定义在D2上的函数y=g(x),若满足存在x0∈D1∩D2,使得f(x0)·g(x0)≥0,我们称函数h(x)=为函数f(x)和函数g(x)的“均值函数”. (1)若f(x)=2x+3,g(x)=a-x,函数f(x)和函数g(x)的“均值函数”是偶函数,求实数a的值; (2)若f(x)=,g(x)=-x2+3x-2,且不存在函数f(x)和函数g(x)的“均值函数”,求实数k的取值范围. 10.经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”. (1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时, f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集; (2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-. ①求g(x)的解析式; ②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.答案　[-1,7] 解析　由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7]. 2.B　由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=时, f(x)min=-,且当x=时, f(x)=-.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1), ∴若x∈(1,2],则当x=时, f(x)min=-,且x=时, f(x)=-. 同理,若x∈(2,3],则当x=时, f(x)min=-1,且x=时, f(x)=-. ∴函数f(x)的大致图象如图所示. ∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,由图可知m≤.故选B. 3.答案　2 解析　因为>=2,所以f()=()2-4=2,所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=1+a=3,解得a=2. 4.答案　 解析　当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a, 此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立, 即2a≥-x2+x恒成立, 因为x>0时,y=-x2+x的最大值为, 所以a≥; 当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2, 此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立, 即a≤-x2-3x+2恒成立, 因为-3≤x≤0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,所以a≤2. 故a的取值范围为. 5.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B. 解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数,故选B. 6.A　设y=f(x)=,易知f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),∴函数f(x)=是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A. 7.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0), f(x-1)的大致图象如图: 若xf(x-1)≥0, 则或 解得1≤x≤3或-1≤x≤0. 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 8.D　由题知 即 从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6,① 又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0,② 由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2], 所以f=f=-f=f=-f=-=.故选D. 9.答案　1 解析　∵f(x)=x3(a2x-2-x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1), ∴2a-=-,∴a=1. 当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数. 10.答案　 解析　|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|. 令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2, 则|g(m)|≤有解. 当a=0时,g(m)=-2,不符合题意; 当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤有解,∴2a-2≤,∴0<a≤; 当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],∵|g(m)|≤有解,∴2a-2≥-,∴a≥,与a<0矛盾. 综上可知,0<a≤,即a的最大值为. 高考模拟练 1.D　对于A,若a>0,b>0,则当x<0时, f(x)=ax+<0,故A中说法错误; 对于B, f(x)的单调递增区间应为,,故B中说法错误; 对于C, f(x)的定义域为{x|x≠0},当a>0,b<0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上分别单调递增,但在定义域上不单调,故C中说法错误; 对于D, f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=-ax+=-=-f(x),故f(x)是奇函数,故D中说法正确,故选D. 2.B　因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(0)=0, f(4)=-f(0)=0, f(3)=-f(-1)=f(1), 又f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(3)=f(1)>f(4)=f(0)=0, f(-3)=-f(3)=-f(1)<0. 所以f(-3)<f(4)<f(3).故选B. 3.ABD　对于A,因为f(x)=(x∈R),所以f(-x)+f(x)=+==0,所以A中说法正确;对于B,C,当x=0时, f(0)=0,当x>0时, f(x)==1-,且0<1-<1,当x<0时, f(x)==-1,且-1<-1<0,故f(x)的值域为(-1,1),所以当m∈(0,1)时,方程f(x)=m总有实数解,所以B中说法正确,C中说法错误;对于D,因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为当x>0时, f(x)=1-单调递增,且f(0)=0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),所以D中说法正确,故选ABD. 4.ACD　对于A,将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x-1)的图象,若f(x)为奇函数,则其图象关于点(0,0)对称,则函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A中说法正确; 对于B,若对任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),即f(x-2)=f(x),则函数f(x)的图象不一定关于直线x=1对称,故B中说法错误; 对于C,将f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象,若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于直线x=0对称,即f(x)为偶函数,故C中说法正确; 对于D,若f(1+x)+f(1-x)=2,即f(1+x)-1=-[f(1-x)-1],则f(x)的图象关于点(1,1)对称,故D中说法正确.故选ACD. 5.AD　对于A,由条件(1)知, f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知, f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,故A正确; 对于B,当f(x)=0(x∈[0,+∞))时,符合条件(1)(2), f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,故B错误; 对于C,取x=2-,y=2+,则g(2-)=1,g(2+)=1,g((2-)+(2+))=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,故C错误; 对于D,g(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,所以当x∈[0,+∞]时,g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+x+y]-(x2+x)-(y2+y)=2xy,当x≥0,y≥0时,2xy≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),故D正确.故选AD. 6.答案　[-4,2] 解析　∵f(x)≥-1,∴或 ∴-4≤x≤0或0<x≤2,即-4≤x≤2, ∴使f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-4,2]. 7.答案　{x|-2≤x≤2} 解析　令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x), 又f(x)的定义域为R,所以函数f(x)为奇函数. 令x=y=1,可得f(2)=f(1)+f(1)=2,则f(-2)=-f(2)=-2, 因为函数y=f(x)在R上单调,且f(2)>f(1),所以函数f(x)在R上单调递增, 又|f(x)|≤2,即-2≤f(x)≤2,所以f(-2)≤f(x)≤f(2),所以-2≤x≤2,故不等式的解集为{x|-2≤x≤2}. 8.答案　(1)a>1　(2)a≤0或a=1 解析　(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示: 由图象知,若存在非零实数x,使得f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象上存在关于直线x=1对称的点,则a>1. (2)结合图象知,若使f(x)为R上的单调函数,则a≤0或a=1. 9.解析　(1)由题意可得h(x)==为偶函数, ∴函数h(x)的图象关于y轴对称, ∴-=0,即2a-3=0,解得a=. 经检验满足题意,故实数a的值为. (2)f(x)=>0, 由g(x)=-x2+3x-2≥0,得x∈[1,2], 若不存在函数f(x)和函数g(x)的“均值函数”, 则kx2-3kx+4≤0在[1,2]上恒成立, 令φ(x)=kx2-3kx+4=k+4-, 当k≤0时,显然不符合题意, 当k>0时,由题意得 解得k≥2. 综上,实数k的取值范围为k≥2. 10.解析　(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1, 又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1, 所以f(x)= 因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|, 即x2<(2x-1)2,解得x<或x>1, 所以不等式的解集是. (2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x), 即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立. 又当x<1时,2-x>1, 所以g(x)=(2-x)2-=x2-4x+4+,x<1, 所以g(x)= ②任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则 g(x1)-g(x2)=--=(x1-x2), 因为x1<x2,所以x1-x2<0, 又x1+x2>0,>0,所以(x1-x2)<0, 即g(x1)<g(x2). 所以函数g(x)在[1,+∞)上是增函数, 又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称, 所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|, 即(x-1)2>(3x-2)2,解得<x<. 所以不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$