第3章 专题强化练4 函数性质的综合应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（湘教版2019）

专题强化练4　函数性质的综合应用 40分钟 1.若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(1)+f(0)=(　　) A.5　　　　B.6　　 C.-5　　　　D.-6 2.函数f(x)=的大致图象是(　　) 3.设f(x)=x3++2,其中k∈R.若函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,则函数f(x)在区间[1,2]上有(　　) A.最小值-2　　　　B.最小值0 C.最小值4　　　　D.最大值2 4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,且f(3)=0,则不等式(x+3)f(x)<0的解集是(　　) A.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(-3,3) 5.已知函数f(x)=,则f(2-x)的单调递增区间为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正数a,b,都有f(ab)=f(a)·f(b)≠0,且当x>1时, f(x)<1,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是增函数,且f(x)<0 B.f(x)是增函数,且f(x)>0 C.f(x)是减函数,且f(x)<0 D.f(x)是减函数,且f(x)>0 7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A.y=　　　　B.y= C.y=1-x2　　　　D.y= 8.(多选)函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法正确的是(　　) A.f(0)=0 B.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数 C.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1 D.当x>0时, f(x)=,则f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1) 9.(多选)若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则下列结论正确的是(　　) A.f(0)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是减函数 D.当x<0时, f(x)>0 10.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是(　　) A.当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2-2x B.函数是定义域为R的增函数 C.不等式f(3x-2)<3的解集为(-∞,1) D.不等式f(x)-x2+x-1>0恒成立 11.若函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(-1,0)时, f(x)=x3-1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　;若函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上为增函数,则不等式f>f(1-x)的解集为　　　　.  12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2,若对于任意的x∈[t,t+1],不等式f(t-x)≤f(x)恒成立,则实数t的取值范围是　　　　.  13.已知f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,函数g(x)=f(x)+, f(1)=-1,当x2>x1>0时,x1x2f(x1)-x1>x1x2f(x2)-x2恒成立.现有下列四个结论: ①g(x)在(0,+∞)上单调递增;②g(x)的图象与x轴有2个交点;③f(3)+f(-2)<;④不等式g(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1). 其中所有正确结论的序号为　　　　　.  14.已知函数f(x)=,x∈R,且x≠2. (1)判断并证明f(x)在区间(0,2)上的单调性; (2)若函数g(x)=x2-2ax与函数f(x)在区间[0,1]上有相同的值域,求实数a的值; (3)函数h(x)=(1-3b2)x+5b,b≥1,x∈[0,1],若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=h(x2)成立,求实数b的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.C　∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0, f(1)=-f(-1)=-[(-1)2+3+1]=-5, ∴f(1)+f(0)=-5.故选C. 2.B　因为f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故C不满足;又当x>0时, f(x)==x-单调递增,故A,D都不满足,B满足.故选B. 3.B　设g(x)=x3+,则g(x)=f(x)-2. ∵f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4, ∴g(x)在区间[-2,-1]上的最大值为2. ∵g(x)=x3+是奇函数, ∴g(x)在区间[1,2]上的最小值为-2, ∴函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0.故选B. 4.D　由题意画出f(x)的大致图象,如图所示, 则(x+3)f(x)<0等价于或由图可知,不等式的解集为(-∞,-3)∪(-3,3).故选D. 5.D　因为f(x)=,所以f(2-x)==, 由-x2+3x>0,得0<x<3,所以函数y=f(2-x)的定义域为(0,3). 又t=-x2+3x=-+(0<x<3)在区间上单调递增,在区间上单调递减,y=(t>0)为减函数,所以函数y=f(2-x)的单调递增区间为.故选D. 6.D　解法一:取f(x)=(x>0),满足题意,则f(x)是减函数,且f(x)>0. 解法二:当x>0时, f(x)=f(·)=>0.任取x1,x2,且x1>x2>0,则>1, f(x2)>0, 由已知得f<1. 所以f(x1)-f(x2)=f-f(x2)=f·f(x2)-f(x2)=f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)是减函数,故选D. 7.BD　y=的定义域是[0,+∞),值域是[0,+∞),故交集是[0,+∞),不合题意; y=的定义域是(-∞,1],值域是[0,+∞),故交集是[0,1],符合题意; y=1-x2的定义域是(-∞,+∞),值域是(-∞,1],故交集是(-∞,1],不合题意; y=的定义域是[-1,1],值域是[0,1],故交集是[0,1],符合题意. 故选BD. 8.AC　由题知, f(-x)=-f(x),∵x∈R,∴当x=0时,f(0)=0,故A正确;因为奇函数的图象关于原点对称,所以在关于原点对称的区间上,单调性相同,故B错误;易知若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则在(-∞,0]上有最大值1,故C正确;当x>0时, f(x)=,则f(x)∈(0,1),∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴当x<0时,f(x)∈(-1,0),又∵f(0)=0, ∴f(x)的值域为(-1,1),故D错误.故选AC. 9.ACD　对于A,令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,故A正确; 对于B,令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数,故B错误; 对于C,任取x1,x2∈R且x1>x2,则x1-x2>0, 由题意得f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,又f(x)是奇函数,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,故f(x1)<f(x2),所以函数f(x)是减函数,故C正确; 对于D,因为f(x)是奇函数,且当x>0时, f(x)<0, 所以当x<0时,-x>0, f(-x)<0, 所以f(x)=-f(-x)>0,故D正确.故选ACD. 10.BC　对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x=-f(x),所以f(x)=x2+2x,故A错误; 对于B,易知f(x)=所以函数是定义域为R的增函数,故B正确; 对于C,不等式f(3x-2)<3可化为f(3x-2)<f(1),所以3x-2<1,解得x<1,故不等式的解集为(-∞,1),故C正确; 对于D,易知函数f(x)的值域为R,且x2-x+1=+≥,故不等式f(x)-x2+x-1>0不一定成立,故D错误.故选BC. 11.答案　f(x)= 解析　当x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),则f(-x)=(-x)3-1=-x3-1. 因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以当x∈(0,1)时, f(x)=-f(-x)=x3+1,当x=0时,f(x)=0, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= 因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1)上为减函数, 所以不等式f>f(1-x)可化为解得0<x<, 所以不等式f>f(1-x)的解集为. 12.答案　(-∞,-3] 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=-x2, 所以当x<0时,-x>0, f(-x)=-(-x)2=-f(x),所以f(x)=x2(x<0), 所以f(x)= 易知f(x)在R上单调递减,且f(x)=f, 则f(t-x)≤f(x)=f, 所以t-x≥x,解得t≥x,因为对于任意的x∈[t,t+1],不等式f(t-x)≤f(x)恒成立,所以t≥,解得t≤-3. 因此实数t的取值范围是(-∞,-3]. 13.答案　②③ 解析　因为当x2>x1>0时,x1x2f(x1)-x1>x1x2f(x2)-x2恒成立,所以x1x2f(x1)-x1>x1x2f(x2)-x2两边同时除以x1x2,得f(x1)->f(x2)-,即f(x1)+>f(x2)+,得g(x1)>g(x2),故g(x)在(0,+∞)上单调递减,故①错误; 因为f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,y=是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,所以g(x)=f(x)+是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数, 又f(1)=-1,所以g(1)=f(1)+=0, 所以g(-1)=0, 所以g(x)的图象与x轴有2个交点,故②正确; 因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(3)<g(2),所以f(3)+<f(2)+,所以f(3)-f(2)<,所以f(3)+f(-2)<,故③正确; 因为奇函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减, 又g(-1)=0,g(1)=0, 所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,当x∈(-∞,-1)时,g(x)>0, 所以不等式g(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),故④错误. 14.解析　(1)f(x)在区间(0,2)上为减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-= = = =. 因为0<x1<x2<2,所以x1-2<0,x2-2<0,x1-x2<0,x1(x2-2)-2x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,2)上为减函数. (2)因为f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以其值域为[-1,0],即x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0].因为g(0)=0为最大值,所以最小值只能为g(1)或g(a).若g(1)=-1,则解得a=1;若g(a)=-1,则解得a=1. 综上,a=1. (3)当b≥1,x∈[0,1]时,h(x)在区间[0,1]上单调递减,故h(x)在[0,1]上的最大值为h(0)=5b,最小值为h(1)=1-3b2+5b.由(2)知f(x)在[0,1]上的值域为[-1,0],所以 所以解得b≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $$